هو تداول الخيارات الثنائية القانونية في الهند

تجارة الخيارات الثنائية الهند.

إذا كنت في تداول الخيارات الثنائية، ثم الهند لا يخيب. مثل العديد من أنحاء العالم شهدت شعبية التجارة الثنائية نموا كبيرا على مدى العقد الماضي. منذ الأزمة المالية لعام 2008 وقد استخدمت التجارة الثنائية كوسيلة لجعل الدخل بطريقة مباشرة إلى الأمام، وبالنسبة للجزء الأكبر ممتعة.

وفي العديد من البلدان لا تزال التجارة الثنائية غير منظمة، وهناك بعض الارتباك فيما يتعلق بما إذا كان هذا النوع من التداول قانونيا أم لا. ولكن هناك فرق بين غير قانوني وغير منظم ومعظم السماسرة سوف يقبل التجار من حد كبير في كل مكان، فضلا عن عدم وجود قواعد التماس التي تمنعهم من القيام بذلك.

من المفيد أخذ الوقت للتحقيق في الأنظمة والقواعد المتعلقة بالتداول في بلدك الخاص وإجراء أبحاثك عندما يتعلق الأمر باستثمار أموالك مع وسيط معين. لحسن الحظ أنه حيث نأتي في، ونحن مراجعة والتوصية كريم للمحصول بحيث يمكنك أن تطمئن إلى أن وسيط اخترت هو الذهاب الى تقديم أفضل خدمة ممكنة.

إذا كنت ترغب في التداول من الهند وتريد أن تجد أكثر من ذلك، فإن هذا الدليل تظهر:

ما إذا كان تداول الخيارات الثنائية هو في الواقع قانوني وينظم في الهند الضرائب والرسوم التي من المرجح أن تتكبد عند تداول الخيارات الثنائية كيفية التأكد من أنك اختيار وسيط الخيارات الصحيحة بالنسبة لك.

لدينا أعلى الوسطاء الموصى بها.

فوائد الوسيط المحلي.

مع اعتبار الهند اقتصاد نمو رئيسي، مع الصناعات التحويلية والصناعات الخدمية المتزايدة، أصبح التداول عبر الإنترنت خيارا ترحيبا للعديد من المقيمين الذين يعتبرون ذلك وسيلة صالحة لتحقيق الربح أو كسب الدخل. مع توافر الأصول الهندية على نطاق واسع على العديد من منصات وسيط وزيادة استخدام الهواتف الذكية، الهندية تداول الخيارات الثنائية هو الآن أكثر سهولة من أي وقت مضى.

لسوء الحظ، نظرا لعدم وجود الاعتراف والتنظيم من الخيارات الثنائية في الهند، من قبل الحكومة، فإنه من الصعب على الشركات الهندية لدخول السوق الكثير من كبار الوسطاء تميل إلى أن تكون أوروبية مقرها. كيف تختارين أفضل وسيط لك وماذا يجب أن تبحث عنه؟

الترخيص والتنظيم.

اختيار وسيط في الخارج على ما يرام طالما أنها مرخصة وتنظيمها. كما العديد من تميل إلى أن تكون أوروبية يجب حقا أن تبحث عن سيسيك، فكا أو ميفيد الترخيص والتنظيم. بهذه الطريقة سوف تشعر أنك أكثر راحة استثمار أموالك.

أعلى مجموعة من الأصول.

إذا كان لديك أصل أو أصول معينة تريد تداولها، فعليك التأكد من أن الوسيط يقدم هذه الأصول. بعض تقدم سوى حفنة، إلا إذا قمت بفتح حساب قسط، وبعض تقدم مئات. تأكد من أنها تقدم تلك التي تريد التجارة في تلك التي قد ترغب في التجارة في عندما يكون لديك المزيد من الخبرة.

أكبر العوائد.

نقول معقولة لأن دفعات في كثير من الأحيان التي تبدو جيدة جدا ليكون صحيحا يمكن أن يكون. ابحث عن متوسط ​​يتراوح بين 70-85٪. لا تسوية منخفضة جدا ولا تحصل على غرور دفعات التي هي مرتفعة جدا.

دعم العملاء جيدة.

واحدة من الأشياء التي قد تكون مثيرة للقلق باستخدام وسيط في الخارج هو ما يحدث إذا كان هناك شيء يذهب على نحو خاطئ. ماذا لو كان لديك سؤال أو تحتاج إلى مساعدة في قضية ما؟ اطلع على خيارات دعم العملاء التي تقدمها. وسطاء جيد لديهم مستشارين دعم العملاء التي سوف تكون قادرة على مساعدتك عبر الدردشة الحية، الهاتف أو.

هناك شيء واحد مفتقر عندما يتعلق الأمر بالتداول وهذا هو حاجز اللغة. في حين أن العديد من السماسرة تقدم مواقعها في مجموعة متنوعة من اللغات المختلفة من الإسبانية إلى العربية لا يوجد تاجر واحد بعد أن يوفر للتاجر فرصة للتجارة في البنغالية أو الهندية. على الرغم من هذا لا يبدو أنه قد ردع التجار ولكن يمكن القول أن الوسيط الأول لتلبية هذا يمكن أن يكون هو الذي يحصل على حافة حقيقية في التجارة الهندية.

القانونية والتنظيمية.

عند النظر في قانونية الخيارات الثنائية، الهند هو موضوع نقاش ساخن. هل من غير القانوني تداول الخيارات الثنائية في الهند؟ الجواب القصير هو "لا" ليس من غير القانوني للتجارة عبر الإنترنت. لا ينظم رغم ذلك، وهذا هو المكان الذي توجد فيه التباينات والارتباك. هناك فرق كبير بين غير المنظم وغير القانوني. مع عدم وجود سيبي مرخص السماسرة الهندية يبدو أن الاتجاه المشترك هو الحصول على ترخيص الأوروبي. ويمكن النظر إلى هذا على أنه فجوة في السوق وفرصة للبعض للدخول.

يجب أن يكون المرخصون الأولى مرخصة من قبل سيبي، مجلس الأوراق المالية والبورصة في الهند. لا يوجد حاليا أي وسطاء الخيارات الثنائية الهندية التي مرخصة من قبل سيبي الذي يرجع إلى حد كبير إلى عدم وجود تنظيم الهندي وحقيقة أن معظم السماسرة تركز على الأسواق الأوروبية.

العديد من السماسرة حريصون جدا للحصول على ترخيص سيسيك. سيسيك هي لجنة قبرص للأوراق المالية والبورصات ومن المسلم به على نطاق واسع كأفضل ترخيص أن يكون، في الواقع غالبية السماسرة المعترف بها وسمعة مرخصة ومسجلة في أوروبا.

مع عدم وجود سماسرة سيبي المرخصة يمكن للمرء أن يفترض بأمان أنه لا يوجد وسطاء على أساس محلي، على الأقل لا شيء كنت قد ترغب في المخاطرة استثمار أموالك مع. كنت أفضل بكثير من خلال النظر من خلال قائمة لدينا من وسطاء مرخص الموصى بها لضمان أنك سوف تكون التداول عن طريق شركة موثوقة وسمعة طيبة.

لا يتم إغراء من قبل العروض التي تبدو جيدة جدا ليكون صحيحا من قبل وسطاء يدعون أنهم وسطاء الهندي الشرعي. في حين أن احتمال استخدام وسيط هندي جذابة جدا سوف تجد على الأرجح أن التجربة ليست كل ما كنت تأمل أنه سيكون على المدى الطويل.

أحدث الصفقات الرابحة.

دفع الضرائب والرسوم.

بعد أن كان التركيز كثيرا على الأرباح من التجارة الثنائية، الهند في العام الماضي أدخلت حملة الحكومة على المال الأسود. وكان هذا يهدف إلى المال مخبأة بعيدا في قبالة الشاطئ الظهر الحسابات. كانت هناك نافذة توافق لمدة 90 يوما من 1 يوليو إلى 30 سبتمبر 2015 للناس لإعلان أرباحهم ودفع الضريبة المستحقة المستحقة. كما هو الحال مع روسيا، والحكومة الهندية حريصة على وقف هذا التدفق من المال من البلاد.

وفيما يتعلق بالضريبة المستحقة على تداول الخيارات، يتم معاملتها كأي دخل آخر وتكون خاضعة لقوانين ضريبة الدخل في ذلك البلد. لا يتحمل الوسيط مسؤولية الإعلان عن الأرباح نيابة عنك، لذا يتعين على الفرد أن يعلن كجزء من القواعد الضريبية في الهند.

وإلى جانب الاضطرار إلى دفع الضرائب الهندية على الأرباح، فإن الرسوم الأخرى الوحيدة التي يجب أخذها في الاعتبار هي تلك المتعلقة بإيداع الودائع والسحب. إذا كنت تقوم بالإيداع والسحب بعملة أجنبية فإنك ستخضع لرسوم تحويل العملة المعتادة. أيضا عند استخدام بطاقة الائتمان أو المحفظة على شبكة الإنترنت قد يكون هناك رسوم لكل معاملة.

النظر في ما إذا كان أرخص لجعل المعاملات أقل من مبلغ أعلى بدلا من جعل الكثير من المعاملات الصغيرة. إذا كان مرفق الدفع الخاص بك يتقاضى مبلغا ثابتا لكل معاملة بدلا من رسم النسبة المئوية، فمن المؤكد أنه من الجيد أن تقوم بعدد قليل من السحب والودائع قدر الإمكان.

كيف نوصي الوسطاء.

لا يهم إذا كنا نراجع السماسرة من جميع أنحاء العالم، ويقول تايلاند أو حتى البرازيل، وكيف يمكننا تقييم ومراجعة أفضل الهند وسطاء الخيارات الثنائية لا يختلف في بلد واحد إلى آخر. كما معظم من أفضل من هناك وسطاء الأوروبيين، ما نبحث عنه هو ما تقدمه لكل بلد معين. وهذا يشمل خيارات اللغة لتحديد الموقع الجغرافي الخاص بك.

مع بعض البلدان مثل الصين والهند وجود عدة لغات مختلفة، أو الاختلافات في لغة، فهي ليست دائما كل الرعاية، وأنها تميل إلى أن تكون اللغات المستخدمة على نطاق واسع المعترف بها. وهذا ينطبق بشكل خاص على الهندية والبنغالية كما ذكرنا سابقا ونحن ندرس كل هذه الأمور عند التوصية وسطاء معينين.

ونحن نركز بشكل كبير على الأشياء الرئيسية عند التوصية وسطاء بما في ذلك:

الترخيص والتنظيم داخل الهند سمعة وسيط ومتى تم تأسيسها سهولة استخدام المنصة وما إذا كانت توفر التداول عبر الهاتف النقال ما دعم العملاء التي تقدمها وأنها هي أي دفعات جيدة وأنواع التجارة المعروضة على منصة المكافآت والحوافز و سواء كان وسيط يقدم حساب تجريبي.

فريقنا قضاء ساعات وأسابيع حتى أشهر بحث مختلف الوسطاء للتأكد من أنها تجلب لك فقط أفضل ما في السوق لهذا العرض.

ونحن لا تتوقف عند هذا الحد. نحن باستمرار تحديث المعلومات لدينا لضمان أن كل شيء هو حتى الآن وذات الصلة في أي وقت. إذا نظرتم إلى جميع كبار السماسرة المتاحة ويشعر بامبوزلد ثم استعراضنا والتوصيات سوف تساعدك على بناء على الأقل اختيار النظر فيها بعناية.

الخبراء وسيط التعليقات.

المزيد من صفحات العالم.

هل تداول ثنائي في الهند قانوني وآمن؟

مثل العديد من البلدان ليس من غير القانوني للتجارة في الهند. وهي صناعة غير منظمة على الرغم من والتجارة كسمسار أولا يجب الحصول على ترخيص من مجلس الأوراق المالية والبورصة في الهند (سيبي). وبما أنه لا يوجد وسطاء مرخص لهم من سيبي فمن الآمن افتراض عدم وجود وسطاء هنود مرخصين حاليا. وهذا لا يعني أن الوسطاء من خارج البلاد لا يستطيعون تقديم خدماتهم للأشخاص الراغبين في التجارة في الهند.

هل أحتاج إلى دفع ضرائب على أرباح التداول؟

ولكل بلد قوانين ولوائح ضريبية خاصة به، والهند ليست استثناء. إذا كنت كسب المال من تداول الخيارات الثنائية هذا المال يخضع لقواعد الضرائب في البلاد. فالحكومة تقوم بوقف الأموال التي يتم إخفاؤها في الحسابات الخارجية، وهي ساخنة جدا على الأشخاص الذين يعلنون عن أرباحهم. والأمر متروك للفرد لإعلان أرباحه ضمان دفع أي ضرائب مستحقة في الوقت المحدد.

هل يمكنني اختبار السماسرة قبل التداول بأموال حقيقية؟

العديد من السماسرة تقدم حساب تجريبي للسماح لأول مرة التجار لممارسة مع صناديق وهمية قبل المخاطرة برأس المال الخاص بهم. بعض السماسرة يضعون حدودا أكبر على هذه الحسابات أكثر من غيرهم، ولا يعرضونها إلا على نافذة لمدة 48 ساعة بينما البعض الآخر سيعطي الفرد وقتا أطول للاستفادة من الحساب التجريبي. فرصة أخرى للتداول دون خطر هو الاستفادة من مكافأة فتح حساب.

هل من السهل جعل الودائع والسحب؟

جعل الودائع والسحب إلى حساب تداول الخيارات الثنائية هو مباشرة إلى الأمام. هناك العديد من طرق الدفع المقبولة من قبل الوسطاء. وتشمل هذه جميع بطاقات الائتمان الرئيسية والعديد من أشكال التحويل الإلكتروني والمحافظ الإلكترونية. تتم الودائع على الفور ولكن يمكن أن تستغرق السحب حوالي 3-5 أيام من اللحظة المطلوبة. عادة ما تعود الأموال المسحوبة من حساب التداول الخاص بك إلى الحساب نفسه.

هل يمكنني التداول باستخدام جهاز الجوال أو الجهاز اللوحي؟

وتيرة التكنولوجيا يعني الآن أنه إذا كنت لا مواكبة لا يمكنك البقاء على قيد الحياة. وهذا ينطبق على وسطاء الخيارات الثنائية الذين يواجهون منافسة شديدة من بعضهم البعض. لهذا السبب سوف تجد أن معظم السماسرة لديهم وسيلة سهلة الاستخدام، وعرض المحمول بديهية التي هي إما نسخة من موقعه على الانترنت أو التطبيق الذي يتوفر للتحميل من أي متجر بلاي أو المتجر. مع كل شخص يقود مثل هذا مشغول من المهم أن تكون قادرة على التجارة على الذهاب.

لدينا أعلى وسيط الموصى بها.

الصفحات ذات الصلة.

شعبية الوساطة وسطاء روبوت التجار لا الإيداع أفضل المكافآت تجريبي حسابات خدمات الإشارة تطبيقات الجوال البطولات الحسابات المدارة أنواع المنصة حسابات فيب أسواق تجارة الفوركس تشفير تجارة العقود مقابل الفروقات تجارة التعليقات وسطاء إكسيرتيوبتيون أوليمب تريد أيركس إق الخيار راسيوبتيون فينرالي بينومو بيناريمات ثنائي بدسويس إمبيروبتيون 24option الروبوتات بيناريوبتيونوتوترادينغ بيناريوبتيونسروبوت إبيناريوبتيونروبوت أوبتيونروبوت الآلي ثنائي أدلة ثنائي 101 أعلى 10 نصائح تجارة الغش مخططات القراءة أنواع الأصول أنواع التجارة تنظيم استدعاء فس مقابل ثنائي فس استراتيجية الفوركس نصائح مسرد المصطلحات الرسوم البيانية العالم أفريقيا جنوب أفريقيا آسيا الهند إندونيسيا اليابان الفلبين سنغافورة تايلاند تركيا أوروبا ألمانيا روسيا إسبانيا سويسرا إيطاليا المملكة المتحدة أمريكا الشمالية كندا الولايات المتحدة أمريكا الجنوبية الأرجنتين البرازيل أوقيانوسيا أستراليا المزيد من الأخبار موقع.

شعبية الوساطة وسطاء روبوت التجار لا الإيداع أسواق تجارة الفوركس تشفير تجارة العقود مقابل الفروقات تجارة التعليقات إق الخيار أوليمب تريد إكسبيرتوبتيون المزيد من الأخبار سيت سيتماب حول.

حقوق الطبع والنشر © 2017 - بيناريوبتيونسكسيرت.

تحذير المخاطر: المنتجات المالية التي تقدمها الشركات المدرجة في هذا الموقع تحمل مستوى عال من المخاطر ويمكن أن يؤدي إلى فقدان جميع أموالك. يجب عليك أبدا استثمار المال الذي لا يمكن أن تخسره.

* المبلغ الذي يقيد لحساب الاستثمار الناجح فقط.

الهند ثنائي خيارات التداول.

يتحدث عن التجارة الثنائية على الانترنت في الهند، وهناك بضعة أشياء تحتاج إلى معرفته. ربما علينا أن نبدأ مع أهم شيء - لا يسمح بعمليات التداول بأكملها. وهذا يعني قبعة في حالة بنك العكس من الهند، الذي يذهب تحت اختصار ربي المصيد الشخص الذي هو حتى عن بعد المشاركة في التداول عبر الإنترنت، ثم هذا سوف يعتبر انتهاكا للقانون. هذا هو السبب في أننا نود أن نقدم لك تحذيرا في حال كنت ترغب في التعامل مع هذه الخيارات التداول عبر الإنترنت.

اللوائح.

وباإلضافة إلى ذلك، أصبح هذا األمر جريمة في عام 2011. وكان السبب هو تأكيد 5 قطاعات خاصة باإلضافة إلى القطاع العام في البنك. ومع ذلك، هناك طريقة بفضل التي سوف تكون قادرة على التجارة مع الخيارات الثنائية على الانترنت، وفي الوقت نفسه أنك لن ننشغل من قبل القانون. الطريقة الوحيدة الممكنة والقانونية لتنفيذ هذه العمليات هي أن تكون جزءا من شركة - في مثل هذه الحالة سيكون لديك فرصة للتداول وهذا لن يعتبر جريمة.

قد يؤدي كل إجراء آخر قد تتخذه في المستقبل، مثل محاولة التجارة فعليا بصفتك فردا خاصا، إلى عواقب وخيمة مثل الذهاب إلى السجن!

التداول الثنائي قد يتم مع رس وهو العملة الهندية الرسمية ولن يسمح لك بإجراء تبادل - رس إلى $. يجب أن يكون التجار على بينة من حقيقة أن الرافعة المالية يجب أن تكون أقل من 10 مرات - تلك هي اللوائح التي تحتاج إلى معرفتها في حال كنت ترغب في بدء التداول مع الخيارات الثنائية على الانترنت.

لذلك مرة أخرى - وبصرف النظر عن الشركات لن يسمح للأفراد بالتجارة بالدولار أو بأي عملة أخرى - يعتبر هذا النشاط غير قانوني. كل المتداول سوف يكون حذر من قبل بنك الاحتياطي الفدرالي، وإذا كان هو أو هي لا تتوقف التداول فورا سيتم اتخاذ التدابير اللازمة. الكثير من الناس في الهند يميلون إلى محاولة التداول عبر الإنترنت، ولكن يجب أن يكونوا على بينة من كل هذه اللوائح لأنها قد تكون حاسمة بالنسبة لهم.

حيث التجارة.

$ 5 الحد الأدنى للإيداع! *

Pepperstone.

$ 100 الحد الأدنى للإيداع! *

$ 10 الحد الأدنى للإيداع! *

بريان هو خبير التحليل الأساسي والتقني والموجه. وقد كان بريان جزءا من أسواق الفوركس والأسهم لأكثر من عشر سنوات كمتداول مستقل.

روابط سريعة.

ثنائي تريبيون.

تأسست في عام 2013، يهدف ثنائي تريبيون في توفير قراءها تغطية الأخبار المالية دقيقة و الفعلية. ويركز موقعنا على قطاعات رئيسية في الأسواق المالية - الأسهم والعملات والسلع، وتفسير تفاعلي متعمق للأحداث والمؤشرات الاقتصادية الرئيسية.

اإلفصاح عن المخاطر المالية.

بيناريتريبون لن يكون مسؤولا عن فقدان المال أو أي ضرر ناتج عن الاعتماد على المعلومات على هذا الموقع. تداول الفوركس والأسهم والسلع على الهامش يحمل درجة عالية من المخاطر وقد لا تكون مناسبة لجميع المستثمرين. قبل اتخاذ قرار بتداول العملات الأجنبية، يجب عليك التفكير بعناية في أهدافك الاستثمارية ومستوى خبرتك ورغبتك في المخاطرة.

سياسة ملفات الارتباط.

هذا الموقع يستخدم الكوكيز لتزويدك بأفضل تجربة ومعرفة أفضل لك. من خلال زيارة موقعنا على الانترنت مع المتصفح الخاص بك تعيين للسماح ملفات تعريف الارتباط، فإنك توافق على استخدامنا لملفات تعريف الارتباط كما هو موضح في سياسة الخصوصية.

&نسخ؛ كوبيرايت 2017 & مداش؛ ثنائي تريبيون. كل الحقوق محفوظة.

أفضل الهندي خيارات التداول والوسطاء مواقع.

من المهم الوصول إلى موقع تداول ثنائي الخيارات من الدرجة الأولى بغض النظر عن المكان الذي تعيش فيه، حيث يضمن لك ذلك إمكانية الوصول الفوري إلى موقع لا يمكنه تلبية جميع صفقاتك فحسب، بل يوفر لك الكثير من الخيارات المصرفية المتاحة لك.

مع هذا في الاعتبار نحن سعداء لعرض لك العديد من المواقع التي تسجل أعلى علامات لجميع زوار موقعنا الذين يعيشون أو يقيمون في الهند. إلقاء نظرة جيدة من خلال القائمة التالية على النحو التالي سوف تجد الصفات البارزة لكل موقع تداول الخيارات الثنائية التي تجعلها أفضل المواقع التي للتجارة.

قائمة أفضل 10 مواقع الخيارات الثنائية الهندية لعام 2017.

فوائد تداول الخيارات الثنائية في الهند.

هناك العديد من الفوائد من الاشتراك وحتى البدء في التداول في موقعنا على مواقع الوساطة الخيارات الثنائية مميزة ومصنفة أن جميع وقبول عملاء جدد الذين يعيشون في الهند، وأحد الأسباب الرئيسية لماذا نعتقد أنك يجب أن تنظر بجدية في الاشتراك في أي من لدينا مواقع مميزة هو أنك ذاهب لتأهل على الفور للحصول على مكافأة والتي سوف تعزز ميزانيتك تداول الخيارات الثنائية.

خيارات غ - أنت ذاهب لتكون قادرة على المطالبة ما يصل إلى 5000،00 $ في الاشتراك المكافآت يجب أن تصبح عميل جديد من موقع خيارات غ، وخياراتهم المصرفية ضمان كل من الودائع والسحب الخاصة بك يتم دفعها إلى جميع المؤسسات المصرفية الهندية بسرعة و مع الحد الأدنى من ضجة 777 ثنائي - واحد موقع تداول الخيارات الثنائية التي نعلمها فقط هو الذهاب الى مستوى أعلى وتجاوز أعلى الخاص بك هو 777 موقع الخيارات الثنائية، وهذا الموقع يعطي حاليا بعيدا خالية تماما من تهمة الاشتراك المكافأة التي هي وسيلة جيدة جدا لتجاهل، زيارة موقعه على الانترنت الآن لمزيد من التفاصيل والمطالبة بأن كمية أكبر بدلا من النقدية تداول الخيارات الثنائية!

ما الخيارات الثنائية المتاحة للتجار مقرها الهند؟

وأنت تسير لتكون قادرة على التجارة على الاطلاق أي نوع من الخيار الثنائي عندما كنت مقرها في الهند وتصبح عميلا من أي من مواقعنا الخيار ثنائي واردة أعلى وأعلى، كل واحد منهم تقدم حول خيارات التداول على مدار الساعة والأسواق التجارية التي هي من السهل جدا للوصول وحتى أسهل للاستخدام!

سوف تكون أيضا قادرة على تداول خيارات العملة، وسوف تكون قادرة على اختيار من عدد كبير جدا ومتنوعة من وصلات العملة. جميع الأصول الثنائية القائمة على الخيارات الثنائية وتتوفر أيضا، وسوف تجد أيضا مجموعة من الصفقات دقيقة يجب أن كنت تبحث لقفل في ربح فوري ومع الخروج المبكر الصفقات كما تتوفر لك تجربة تداول الخيارات الثنائية ستكون ثاني لا يعلى عليه!

الهند الخيارات الثنائية الدفع والخيارات المصرفية.

سوف تكون قادرا على استخدام مجموعة كبيرة من الخيارات المصرفية المختلفة التي سوف تمكنك من تمويل أي حساب تداول الخيارات الثنائية في أي من المواقع المذكورة أعلاه، يمكنك استخدام بطاقات الائتمان والخصم أو إذا كنت تفضل مجموعة واسعة من تتوفر الخيارات المصرفية الأخرى على شبكة الإنترنت بما في ذلك الحسابات على شبكة الإنترنت محفظة نوع والخيارات المدفوعة مسبقا وتتوفر أيضا.

بفضل بعض المعالجات المالية قوية جدا المتاحة في جميع مواقع تداول الخيارات الثنائية المدرجة لدينا ومواقع الانترنت على الانترنت عندما يتعلق الأمر بطلب الانسحاب أنك لن تجد أي مواقع دفع أسرع من تلك المذكورة أعلاه. لا تتردد في الخروج أي من مواقعها على الانترنت لكسر كامل على حد سواء الودائع والسحب الحدود.

تداول الخيارات الثنائية في الهند.

عندما يتعلق الأمر التداول عبر الإنترنت ثنائي في الهند، يجب أن تعرف عن عدة أشياء. الأول والشيء الأكثر أهمية هو أن عمليات التداول كلها محظورة. لذلك يعني إذا تم القبض عليك من قبل البنك العكسي في الهند (ربي) للاشتراك في التداول عبر الإنترنت، كنت تعتبر أن تنتهك القانون. ونتيجة لذلك، ونحن سوف نقدم لكم بعض التحذيرات مقدما في حال كنت ترغب في محاولة تداول الخيارات عبر الإنترنت. وفيما يلي قائمة الأكثر شعبية منصة الخيارات الثنائية في الهند:

تراديروش هو منصة شعبية جدا في الهند. انقر استعراض تراديروش لمعرفة المزيد.

ويعتبر التداول عبر الإنترنت جريمة في الهند منذ عام 2011 من قبل القطاع الخاص 5 والقطاع العام في البنك. ولكن لا تقلق، لا يزال بإمكانك العثور على وسيلة للتجارة عبر الإنترنت دون الوقوع من قبل القانون، الذي هو أن تصبح جزءا من شركة.

تذكر أن أي إجراء آخر تقوم به، مثل محاولة التجارة بمفردك، سيكون ضد القانون وقد يؤدي إلى عواقب غير مرغوب فيها سيئة مثل وقت السجن!

في الهند، يمكن إجراء تداول الخيارات الثنائية عبر الإنترنت مع العملة الهندية الرسمية - رس. بالطبع لا يسمح لك لإجراء تبادل من رس إلى أوسد. يجب أن تتذكر أيضا أن الرافعة المالية يجب أن تكون دائما أقل من 10 مرات. هذه هي العديد من اللوائح التي ينبغي اتباعها إذا كنت ترغب في تداول الخيارات الثنائية على الانترنت في الهند.

تذكر، في الهند، يسمح للشركات فقط للتجارة باستخدام الدولار أو أي عملة أخرى. ويعتبر أي نشاط فردي غير قانوني. وسيتلقى المنتهكون الأولون تحذيرا من بنك الاحتياطي الاسترالي، وإذا ما واصلوا التداول، سيتم اتخاذ تدابير أكثر خطورة. وهناك كمية كبيرة من الناس في الهند مهتمون في التداول عبر الإنترنت، لذلك فمن المستحسن أن يتعلم المرء عن هذه اللوائح قبل التداول الفعلي من أجل تجنب العواقب القانونية غير المرغوب فيها.

هذه مادة رائعة عن أسئلتي & # 8230؛

أنا وندرستان كل شيء. ولكن ما ألقيت شركة. كيف يمكنني جعل شركة؟

هذا هو مقال رائع. يمكنك الرجاء دليل لي للتداول من الهند.

ثم كيف يمكنني بدء الخيار الثنائي & # 8230؛ يمكنني استخدام الخيار إق لتداول الخيارات الثنائية & # 8230؛ ماذا يمكنني أن أفعل للشركات.

نمذجة أسواق السلع واستراتيجيات التداول المادي

أنواع استراتيجيات تجارة السلع.
استراتيجيات تجارة السلع هي خطط لشراء وبيع العقود الآجلة للسلع والخيارات للاستفادة من التحركات في الأسعار. من المهم وضع خطة استراتيجية قبل البدء في تداول السلع والمخاطرة بأي رأس مال.
مشاهدة الأخبار المالية وقراءة النشرة الإخبارية للسلع للحصول على أحدث النصائح التجارية لن توفر للمتداول المهارات اللازمة للنجاح في أسواق السلع.
ومع ذلك، فإن الاستراتيجيات الثابتة التي تختبرها من خلال المحاكاة مع مرور الوقت تسمح للمتداول في مهدها لفهم المخاطر والمكافأة فضلا عن الطبيعة المتقلبة للأسواق.
العديد من استراتيجيات تجارة السلع تستخدم التحليل الفني عندما يتعلق الأمر بالدخول والخروج من مراكز المخاطر في أسواق العقود الآجلة والأسواق الآجلة. لقد وجدت أن التحليل الفني وحده لا يوفر سوى جزء من الصورة في الأسواق.
إن تحليل العرض والطلب الأساسي هو تكملة حاسمة من شأنها أن تساعد المتداول على تجنب تغييرات غير متوقعة تميل إلى حدوثها عندما يتعلق الأمر بتطور الإنتاج والاستهلاك في أسواق المواد الخام. ستجد أدناه بعض استراتيجيات تداول السلع الأساسية باستخدام التحليل الفني. ثم سوف ننظر في بعض المعلومات حول استخدام التحليل الأساسي للسلع التجارية.
العديد من استراتيجيات تجارة السلع تدور حول نطاق التداول أو منهجية الاختراق.
كل نوع من الاستراتيجيات لديه إيجابيات وسلبيات، لذلك الأمر متروك للتاجر الفردي لاختيار أي نوع من الاستراتيجية قد تعمل بشكل أفضل. أنا أميل إلى استخدام الاختلافات من كلا النوعين من الاستراتيجيات في تداول بلدي.
استراتيجية التداول المدى.
ويعني تداول المدى في السلع ببساطة محاولة إجراء عمليات شراء بالقرب من الطرف السفلي من المدى (الدعم) والبيع في أعلى هذا النطاق (المقاومة).
ويعتمد نجاح هذه الاستراتيجية على القدرة على شراء سلعة ما بعد البيع مما يجعل السعر ينخفض ​​إلى حالة ذروة البيع. الإفراط في البيع يعني أن السوق قد استوعبت كل بيع وشراء من المرجح أن تظهر. على العكس من ذلك، يمكن للمرء أن يتطلع إلى بيع سلعة بعد ارتفاع طويل يجعل السعر يرتفع إلى حالة ذروة الشراء حيث ينخفض ​​الشراء ويظهر البيع.
هناك العديد من المؤشرات التي تقيس مستويات التشبع في الشراء وشراء البيع مثل مؤشر القوة النسبية ومؤشر ستوشاستيك ومعدل الزخم ومعدل التغير. هذه الاستراتيجيات تعمل بشكل جيد عندما لا يكون للسوق اتجاه واضح ومتناسق. ومع ذلك، فمن الممكن أن تظل الأسواق في منطقة ذروة شراء أو ذروة البيع لفترات طويلة من الزمن. خطر تداول النطاق هو أن السوق يتحرك دون الدعم الفني أو فوق المقاومة.
فواصل التداول.
استراتيجية تركز على هروب التداول في عالم السلع يعني أن المتداول سوف يبحث لشراء سلعة لأنها تحقق ارتفاعات جديدة أو تبيع سلعة لأنها تجعل مستويات منخفضة جديدة. يمكن بسهولة رصد الارتفاعات والانخفاضات الجديدة على الرسم البياني، حيث أنها قمم وأحواض التحركات السابقة. العديد من التجار المحترفين استخدام هذه التقنيات عندما يديرون مبالغ كبيرة من المال وتبحث عن اتجاه رئيسي لتطوير.
السلع هي أدوات متقلبة وليس من غير المألوف بالنسبة لهم لمضاعفة أو نصف في السعر أو أكثر خلال فترات زمنية قصيرة نسبيا.
فلسفة هذه الاستراتيجية بسيطة - السوق لا يمكن أن يستمر اتجاهه دون تحقيق مستويات قياسية جديدة أو مستويات جديدة. وتعمل هذه الاستراتيجية بشكل أفضل عندما تكون الاتجاهات قوية وطويلة الأمد. لا يهم ما إذا كان الاتجاه صعودا أو هبوطا، حيث يقوم المتداول بشراء مستويات قياسية جديدة وبيع (تقصير) عند مستويات جديدة. وتتمثل إحدى العوائق الحرجة في هذه الاستراتيجية في أنها تؤدي أداء ضعيفا عندما لا تتمكن الأسواق من إقامة اتجاهات قوية وتجارة في النطاقات.
استراتيجية التداول الأساسية.
في حين أن التداولات أو نطاقات التداول عادة ما تكون لها قواعد محددة بشأن وقت الشراء والبيع، فإن التداول الأساسي يعتمد على عوامل تؤثر على العرض والطلب على السلعة المعنية.
على استعداد لبدء بناء الثروة؟ اشترك اليوم لمعرفة كيفية حفظ للتقاعد المبكر، معالجة الديون الخاصة بك، وتنمو القيمة الصافية الخاصة بك.
على سبيل المثال، قد يقوم تاجر بشراء فول الصويا لأن الطقس جاف خلال الصيف مما يؤدي إلى توقعات لمحصول أصغر. من ناحية أخرى، يمكن للمرء أن يتوقع زيادة الطلب على النفط الخام من الصين، مما أدى إلى موقف طويل في العقود الآجلة للنفط.
التجار والمستثمرين الجدد في الأسواق يميلون إلى صعوبة في التداول الأساسي لأنه ينطوي على كمية هائلة من الواجبات المنزلية وعدد الطحن. وعلاوة على ذلك، فإن المواقف الأساسية تحتاج عادة إلى مزيد من الوقت والصبر وتتطلب المزيد من المخاطر لأن التطورات قد تستغرق وقتا طويلا لكي تتكشف.
ومن الصعب أيضا تحديد مكان الشراء والبيع عند التداول على أساسيات وحدها. أحب الجمع بين الاستراتيجيات التقنية والأساسية. يمكنني استخدام أساسيات لتحديد اتجاه السعر (أعلى أو أقل) والتحليل الفني لتحديد نقاط الدخول والخروج للمناصب.

نمذجة سوق السلع واستراتيجيات التداول الفيزيائي -.
انقر لتعديل تفاصيل المستند.
معاينة النص غير المنسقة: النمذجة سوق السلع واستراتيجيات التداول المادية من قبل بير إينار S. إليفسن إنجينيور دي l'إكول بوليتشنيك، 2008 المقدمة إلى قسم الهندسة الميكانيكية في الوفاء الجزئي لمتطلبات درجة الماجستير في العلوم في الهندسة الميكانيكية في معهد ماساتشوستس للتكنولوجيا يونيو 2010 © 2010 معهد ماساتشوستس للتكنولوجيا. كل الحقوق محفوظة. _____________________________________________________________ قسم الهندسة الميكانيكية مايو 13، 2010 معتمدة من قبل: ____________________________________________________________________ بول د. سكلافونوس أستاذ الهندسة الميكانيكية والبحرية العمارة المشرف على الرسالة قبلت: ___________________________________________________________________ ديفيد E. هاردت أستاذ الهندسة الميكانيكية رئيس لجنة قسم طلاب الدراسات العليا 2 استنباط أسواق السلع واستراتيجيات التداول المادي من قبل بير إينار S. إليفسن المقدمة إلى قسم الهندسة الميكانيكية في 13 مايو 2010 في الوفاء الجزئي لمتطلبات درجة الماجستير في العلوم في الهندسة الميكانيكية الملخص يتم اتخاذ القرارات الاستثمارية والتشغيلية التي تنطوي على السلع الأساسية استنادا إلى الأسعار الآجلة لهذه السلع. وهذه الأسعار متقلبة، ويجب أن يكون نموذج تطورها صحيحا بسبب تقلبها وبنية ترابط المصطلحات. ويقترح نموذج ثنائي الاتجاه للمنحنى الأمامي ومعايرة إلى النفط الخام، والشحن، والغاز الطبيعي، وأسواق زيت التدفئة. يتم استكشاف الخصائص النظرية لهذا النموذج، مع التركيز على تحللها إلى عوامل مستقلة تؤثر على مستوى ومنحدر منحنى إلى الأمام. ثم يطبق النموذج ذو العاملين على مشكلتين تنطويان على أسعار السلع الأساسية. ويستمد التعبير التحليلي التقريبي لأسعار الخيارات الآسيوية وتبين لشرح أسعار السوق من خيارات الشحن. وتعرض تجارة التخزين العائمة، التي ظهرت في سوق النفط في أواخر عام 2008، كمشكلة توقف مثالية. باستخدام نموذج عاملين من منحنى إلى الأمام، يتم تخزين قيمة تخزين النفط الخام وتحليلها تاريخيا. ويسمح الإطار التحليلي لتجارة السلع المادية التي تم تطويرها بحساب الأرباح المتوقعة، والمخاطر التي تنطوي عليها، والتعرض لعوامل الخطر الرئيسية. وهذا يجعل من الممكن للمشاركين في السوق لتحليل هذه الصفقات المادية مقدما، ويخلق قاعدة قرار لمتى لبيع البضائع، ويسمح لهم بالتحوط من التعرض لمنحنى إلى الأمام بشكل صحيح. المشرف على الرسالة: بول د. سكلافونوس العنوان: أستاذ الهندسة الميكانيكية والهندسة البحرية 3 4 جدول المحتويات 1. مقدمة. 7 - أسواق السلع الأساسية. 7 2 - التعريفات والأسواق. 8 3. الدافع. 10 4 - الأهداف. 10 5. المنهجية والمخطط. 11 2. نموذج السوق. 12 - الأساس المنطقي. 12 الأدب الحالي. 12 3 - تحليل البيانات الاستكشافية. 13 4. نموذج ثنائي لعقود السلع الآجلة. 16 5. تحليل المكونات الرئيسية. 18 6. إلى الأمام منحنى الموسمية. 21 7 - معايرة السوق. 23 - عواقب المخاطر المسبقة - من المخاطر المحايدة إلى القياس الموضوعي. 9 - تمديد ثلاثة عوامل. 30 10. نموذج منحنى إلى الأمام ثابت. 11. تطبيقات نموذج السوق. 33 3. الخيارات الآسيوية على السلع. 37 - التعاريف والأسواق. 37 2. الأدب عن الخيارات الآسيوية. 38 3 - الصيغ التقريبية في إطار النموذج ذي العاملين. 38 - مقارنة بنماذج الخيارات اآلسيوية األخرى وأسعار السوق. 46 - التحوط من الخيارات الآسيوية. 53 6. اعتماد سعر الخيار الآسيوي على البارامترات. 56 5 4. تجارة المخازن التجارية. 58 1. مقدمة. 58 2. مشكلة التخزين العائمة. 58 3. طرق الحل. 62 4. الخصائص التحليلية للحل. 65 - الربح والمخاطر. 68 6. ​​النتائج. 70 - أصول الأرباح الزائدة. 90 - مشكلة تجارة السلع العامة. 95 5- الاستنتاجات. 98 1. ملخص النتائج. 98 2. اقتراحات للبحوث المستقبلية. 99 6 - التذييل. 100 1. 2. بقعة عملية السعر ضمنا من قبل نموذج عاملين. 101 3. المكونات الرئيسية تحليل النموذج ثنائي العوامل. 102 4. تطور منحنى الامتداد الثابت للنضج تحت النموذج ذو العاملين. .5 تأثير عامل ثالث على منحنى األمام الثابت. 105 .6 التقلبات السوداء لعقد السعر المتوسط. 106 7. الحل شبه التحليلي لمشكلة التوقف الأمثل. 108 8 - حجم التداول في أسواق المشتقات السلعية. 100 الطرق والسفن والسفن المستخدمة في تجارة التخزين العائمة. 113 المراجع. 114 6 .1 مقدمة .1 أسواق السلع في 3 یولیو 2008، تداولت عقود برنت الآجلة للنفط الخام 146 دولار أمریکي للبرمیل. ونقلت القناة عن مسار الشحن في الخليج العربي - TD3 في 240 ووردزال، وكان المحللون يتوقعون أسعار النفط الخام عند 200 دولار خلال الأشهر المقبلة. وفى 3 ديسمبر، تداول برنت عند 45 دولارا امريكيا للبرميل الواحد و TD3 عند 70 ووردزال، اى 69 و 71 فى المائة على التوالى. وتعتبر أسواق السلع الأساسية من بين أكثر الأسواق تقلبا في العالم، كما أن تقلباتها تشكل مصدرا للأرباح والمخاطر بالنسبة للجهات الفاعلة المعنية. ومن أجل إدارة هذه المخاطر، ترافقت الأسواق الفعلية المادية من مرحلة مبكرة مع الأسواق الآجلة، وتحولت لاحقا إلى أسواق المشتقات المالية. قدم مجلس شيكاغو للتجارة العقود الآجلة للتجارة المتداولة على المنتجات الزراعية في عام 1848، وتم تداول النفط الخام إلى الأمام منذ بداياته في ستينيات القرن التاسع عشر (يرجين، 2008). وتتألف معظم أسواق السلع الحديثة من سوقين متشابكين هما: السوق المادية والمالية. ويتكون السوق المادي - أو الفوري - من جميع المشاركين في السوق الذين يبيعون أو يأخذون المنتج السلعي. في سوق النفط الخام هذه هي شركات النفط، المصافي والشركات التجارية المادية. يحدث التداول في السوق الفورية عادة من خلال وسطاء ومطابقين للبائعين والمشترين للبضائع في تواريخ ومواقع محددة. سوق السلع المالية هو سوق العقود المشتقة على أساس الفور. وتتخذ هذه المشتقات شكل العقود الآجلة والعقود الآجلة والخيارات، وتستخدم لإدارة المخاطر من قبل الشركات المشاركة في السوق المادية والمضاربة من قبل لاعبين آخرين. الأهم من ذلك، فإن المشتقات تسوية ضد السوق المادية، وبالتالي ربط اثنين. وفي بعض الحالات يتم تسوية المشتقات فعليا، أي أن المشتري يتلقى السلعة الفعلية. وفي دول أخرى، تستقر المشتقات المالية مقابل مؤشر فوري يتم نشره يوميا بناء على المعامالت في السوق الفعلي. وتعتمد الأحجام النسبية للأسواق المالية والمادية على مستوى تطور سوق المشتقات. وكما هو مبني يف امللحق 1، يف عام 2009، بلغ حجم املشتقات) العقود اآلجلة والخيارات (املتداولة يف النفط اخلام 303 مليار برميل، مقارنة بإنتاج سنوي سنوي قدره 33 مليار برميل) سيا، 2009 (، مما جعل سوق املشتقات تسع مرات حجم السوق المادية. وفي سوق الشحنات، تداول سوق المشتقات 304 مليون طن من البضائع النفطية في عام 2009، مقارنة ب 145 مليون طن من ناقلات النفط المتداولة في عام 2006 (ستوبفورد، 2009)، والذي يقيم حجم سوق المشتقات إلى ضعف السوق الفعلية. ولا تزال هناك إمكانيات نمو كبيرة في سوق مشتقات الشحن، وهو ما سيحدث من خلال التوحيد القياسي والتغييرات في الاتفاقيات المتعلقة بتحديد الأسعار المادية، على غرار ما حدث في سوق النفط منذ الثمانينات. وستكون العلاقة بين الأسواق الفورية والآجلة للسلع هي الموضوع الرئيسي لهذه الرسالة، ولا سيما كيفية استخدام السوق المالية للحصول على مزيد من التبصر في القرارات التجارية المادية. في حين سيتم التركيز على النفط الخام وشحن ناقلات النفط، وسوف نقدم نتائج في وضع عام ونفس المبادئ تنطبق على السلع الجافة مثل الفحم. 7 التعاريف والأسواق تعريفات في هذه الأطروحة سوف ننظر في سوق السلع حيث يتم تداول السلعة بسعر الصرف S (t) في التاريخ t. هذا هو سعر السوق للتسليم في أقرب وقت ممكن، والذي يمكن أن يكون في اليوم التالي للكهرباء أو خلال الشهر المقبل للنفط الخام. يرتبط هذا السوق بالأسعار الآجلة F (t، T) في التاريخ t. هذه هي الأسعار في السوق لتسليم السلع في تاريخ T، الذي هو في المستقبل. وكثيرا ما يتم التمييز بين العقود الآجلة والمستقبلية، وهذه الأخيرة أكثر توحيدا وذات طابع سوقي يوميا، ولكننا لن نجعل هذا التمييز هنا. في الحالة التي يتم فيها تسوية األموال من الناحية المالية، فإن المركز الطويل في العقد اآلجل الذي تم إدخاله في تاريخه سوف يسدد S) T (- F) t، T (في تاريخ التسوية T. طالما أن السوق المادية سائلة، وبالتالي فإن الدخول في عقد مادي أو مالي مستقبلي يكون مكافئا فيما يتعلق بمخاطر السوق - وكلاهما يعطي سعر شراء ثابت من F (t، T). مجموعة من العقود الآجلة التداول في السوق يسمح لنا لبناء منحنى إلى الأمام F (t، T). وعادة ما تكون آجال الاستحقاق الشهرية، ولكنها يمكن أن تكون أكثر دقة في نهاية قصيرة. سنقوم أيضا بفهرسة هذا المنحنى حسب الوقت اللازم للاستحقاق τ = T - t، وهو الوقت المناسب لتسوية العقد الآجل: f (t، τ) = F (t، t + τ). سوق النفط الخام يعتبر سوق المشتقات النفطية الخام أكبر سوق للسلع، حيث بلغ حجم تداوله 303 مليار برميل في عام 2009) أيس، 2009 و سم، 2009 (. ومع ذلك، فهي ليست سلعة واحدة - حيث يعتمد سعر النفط الخام على درجته (خاصة الثقل النوعي ومحتوى الكبريت) والموقع. ومع ذلك هناك درجتان مرجعتان من النفط الخام: بفو (برنت، فورتيس، أوزيبرغ و إكوفيسك) في بحر الشمال و النفط الخام الخفيف الحلو في كوشينغ، أوكلاهوما في الولايات المتحدة، والمعروف أيضا باسم غرب تكساس الوسيط (وتي). ويتم تسعير معظم درجات النفط في مواقع أخرى على أساس فرق تفاضلي عن هذه المواد الخام. العقود الآجلة لخام غرب تكساس الوسيط التجارة في بورصة نيويورك التجارية (نيمكس) ويتم تسليمها جسديا في نظام خط الأنابيب في كوشينغ، أوكلاهوما، خلال شهر العقد. وهذا ما يجعل من خام غرب تكساس الوسيط عقد العقد الفوري للنفط الخام في ذلك الموقع. ومع ذلك، فإن كوشينغ داخلية ولا يمكن الوصول إليها إلا عن طريق خط الأنابيب، في حين أن النفط الخام المستورد سيصل عادة بالناقلة في ميناء لويزيانا البحري البحري (لوب) في خليج المكسيك. ولذلك فإننا سوف تنظر أيضا في السعر الفوري لويزيانا الخفيفة الحلو (لس) وهو الخام الخفيف الحلو سعرها في سانت جيمس، لويزيانا. بفو هو سوق النفط الخام الأكثر اكتمالا. يتم تقييم السعر الفوري، المعروف باسم داتد برنت، يوميا من قبل بلاتس من الصفقات خلال "نافذة التداول بلاتس"، ويتوافق مع البضائع تسليمها بين 10 و 21 يوما إلى الأمام. بدءا من شهر هناك عقود العقود الآجلة التداول في بورصة انتركونتيننتال (أيس) وتسوية ماليا ضد مؤشر برنت أيس. بين الاثنين، يمكن للتجار تحوط الأسعار خلال نوافذ زمنية أكثر تحديدا باستخدام عقود برنت مقابل الفروقات (كفد). 8 باستخدام هذه الأسعار المختلفة، يمكن إنشاء منحنى إلى الأمام دقيق جدا ل بفو، وخاصة في نهاية قصيرة. وبالإضافة إلى العقود الآجلة، هناك سوق سائلة للخيارات المتعلقة بأسعار أسعار النفط الخام هذه. الخيارات المتداولة في البورصة هي في الغالب الأمريكية وتسلم العقود الآجلة عند ممارستها. سوق الشحن بالناقالت في حين تم نقل النفط على متن السفن منذ عام 1861) يرجين، 2008 (، فإن انتقاله من عملية لوجستية تسيطر عليها شركات النفط الكبرى إلى السوق الفورية حديث نسبيا، حيث أن 70٪ من استئجار السفن في التسعينيات مقابل 20٪ في عام 1973. في السوق الفورية، يتم استئجار ناقلات لرحلة واحدة (مثل سولوم فو - لوب) من خلال وسطاء، مع جميع التكاليف المدرجة في السعر. وهناك عدد من المسارات المرجعية للناقلات القذرة والنظيفة، وعددها TD1 من خلال TD18 (القذرة، أي الخام) و TC1 إلى TC11 (نظيفة، أي المنتجات). في نهاية كل يوم تداول تقوم بورصة البلطيق باستطلاعات الوسطاء وتنشر تقييما لمستوى السعر لكل من هذه الطرق، مما يشكل مؤشرات بورصة الناقلة القذرة والنظيفة. هذا هو السعر الفوري المعترف به في سوق الناقلات. وعادة ما تنشر معدلات الناقلات في وحدة تسمى ووردكيل (وس). ويتم تحديث هذه الوحدة، خاصة بكل مسار، سنويا من قبل الجمعية العالمية وتمثل سعر مرجعي لصهريج مرجعي على الطريق المحدد، بالدولار الأمريكي للطن الساكن. ثم يكون السعر الفوري ل WS100 مساويا ل 100٪ من هذا السعر، في حين أن W150 ستكون 150٪ من هذا السعر. وتشمل أسعار ناقلات النفط هذه في جميع الرحلات، أي تكاليف الوقود والميناء والقناة. ومن المفيد التراجع عن السعر المعادل لساعة الشحن (تس) للسفينة، بالدولار الأمريكي في اليوم الواحد، وهو ما يقابل السعر اليومي لاستئجار السفينة من هذه التكاليف. وهذا يتطلب معرفة تفاصيل عن المسافة المغطاة، وسرعة السفينة، واستهلاك الوقود وأسعار الوقود. واستنادا إلى هذا التقييم، تنشر بورصة البلطيق أيضا أسعارا يومية للتعبير عن أشكال التعبير الثقافي التقليدي في ناقلات النفط الخام من طراز فلسك و سويسماكس و أفرماكس و مر. كما شهد سوق الناقالت التطور األخير نسبيا لسوق اتفاقية الشحن األمامي) ففا (. في حين تم تداول العقود الآجلة BIFFEX1 في وقت مبكر من عام 1985 فقدت شعبيتها، ومنذ ذلك الحين تم الاستعاضة عن الغذاء مقابل الغذاء محددة الطريق. وتستقر الأصول المالية مقابل الأصول المالية في نهاية عقدها الشهر على المتوسط ​​الحسابي للقيم اليومية لمؤشر بورصة البلطيق الأساسي خلال ذلك الشهر. ويتم تداول السلع الغذائية مقابل الأصول من خلال الوسطاء، حيث تمتلك البورصة البحرية الدولية (إيماريكس) أكبر حصة في السوق في مجال الغذاء مقابل الغذاء. تتركز السيولة في عدد قليل من الطرق الرئيسية، مثل TD3 (فلسك الخليج العربي - اليابان)، TD5 (سويسماكس غرب أفريقيا - الولايات المتحدة الساحل الأطلسي) و TC2 (مر ناقلة المنتج روتردام - نيويورك). وباإلضافة إلى أسعار الوساطة، تنشر بورصة البلطيق تقييما يوميا لألصول الغذائية مقابل األصول التي يحصل عليها وسطاء االقتراع. ومن الخصائص الهامة لسوق الشحن أن السلعة التي يجري تداولها، بالأميال، هي خدمة وليست سلعة مادية يمكن تخزينها. وهو مشابه في هذا الصدد لأسواق الكهرباء. في حين أنه ليس من المستحيل تخزين طن ميل، ويمكن أن يتم ذلك عن طريق تبخير بطيئة أو زرع السفن على سبيل المثال، هو أكثر صعوبة وهذا النقص في المخزون يؤدي إلى ارتفاع تقلبات الأسعار الفورية وانخفاض الترابط بين العقود الآجلة لمختلف العقود. وهناك أيضا سوق ناشئة في خيارات الشحن، بقيادة إيماريكس. هذه هي الطريقة الآسيوية، ومثل ففس، يستقر على متوسط ​​مؤشر بقعة خلال شهر. (1) تبادل العملات الأجنبية في بورصة بحر البلطيق، وهي مبادرة من بورصة البلطيق، كانت موجودة في الفترة من 1985 إلى 2001 9 3 - الدوافع إن تقلب أسعار السلع الأساسية يعرض الجهات الفاعلة في السوق إلى مخاطر كبيرة. جميع قرارات الاستثمار التي تنطوي على السلع الأساسية تعرض المستثمرين إلى منحنى إلى الأمام. وتشمل هذه القرارات شراء منجم للفحم وتشغيل محطة توليد الكهرباء، وتأمر وإلغاء سفينة جديدة، وتداول السلع بين مواقع مختلفة، وخيارات الكتابة على سلعة ما. وكما أكد في ديكسيت وبينديك (1994)، لا ينبغي اتخاذ هذه القرارات على أساس توقعات الأسعار فقط. إن التقلبات السنوية بنسبة 40٪ في سعر النفط الخام الفوري سيكون لها تأثير أكبر بكثير على قرارات الاستثمار في أصول النفط الخام مقارنة مع نمو متوقع بنسبة 2٪. وكان عام 2008 عاما متقلبا بشكل خاص في سوق النفط. كما تميزت بانتقال السوق الآجلة إلى كونتانغو حاد بعد سنوات من التخلف حيث انخفض السعر الفوري. وفي الوقت نفسه، انخفضت أسعار ناقلات النفط بنسبة 71٪. وأدى ذلك إلى استخدام مجموعة من الناقلات كمرافق تخزين عائمة ترتكز بالقرب من موانئ التسليم لتخزين النفط الخام غير المستخدم والاستفادة من كونتانغو وهي ظاهرة لم يسبق لها مثيل منذ عام 1973. تقرر عند إطلاق النفط الخام من هذه التجارة العائمة للتخزين كما يعتمد على السوق إلى الأمام وتقلب الأسعار. وفي حين يجري تنفيذ العديد من هذه الاستثمارات والحرف، لا يتم تقييمها عموما باستخدام إطار مناسب. ويتطلب التقييم الصحيح واتخاذ القرارات التشغيلية لهذه الاستثمارات أو الصفقات استخدام نموذج بسيط وصحيح للمنحنيات الآجلة للسلع المعنية. مثل هذا النموذج يفتح المزيد من الإمكانيات لإدارة مخاطر الشركة بشكل صحيح واتخاذ خيارات مستنيرة حول الاحتمالات المختلفة. 4. الأهداف الهدف الرئيسي من هذه الأطروحة هو وضع إطار بسيط وفعال للتجارة المادية المثلى للسلع. ومن شأن هذا الإطار أن يسمح لنا بفهم وتحليل تجارة التخزين العائمة التي ظهرت في أواخر عام 2008 واستمرت في عام 2009. والأسئلة التي سنحاول الإجابة عنها في هذه الرسالة هي: • هل يمكن أن يفسر نموذج منحنى أمامي ثنائي العوامل بسيط التقلبات التاريخية وترابط العقود الآجلة المتداولة في أسواق السلع المختلفة؟ • ما هي النتيجة على عملية السعر الفوري لنموذج من هذا النوع ذي العوامل الثنائية؟ • کیف ینبغي أن تفسر أسعار السلع الآسیویة، کما یتم تداولھا في سوق الشحن، وبأسعارھا وتحوطھا من قبل المشارکین في السوق؟ ما هو معنى التقلبات الضمنية لهذه الخيارات؟ • متى كانت نافذة المراجحة للنفط الخام عبر المحيط الأطلسي مفتوحة؟ متى كانت هناك فرص تخزين عائمة في هذه التجارة؟ 10 • ما هي أفضل استراتيجية تخزين عائمة تتبع لتحقيق أقصى قدر من الأرباح للتاجر؟ هل هناك قيمة للحفاظ على التعرض لمنحنى إلى الأمام من خلال عدم بيع البضائع إلى الأمام على الفور، وكيف يمكننا أن نفهم هذه القيمة؟ • ما هي االستراتيجية األمثل لتوجيه السفن التي يجب اتباعها عند النظر في مشكلة تداول جسدي عامة؟ متى ينبغي إعادة توجيه سفينة من وجهتها الأصلية؟ 5. المنهجية والمخطط العام إن الإطار العام الذي سنعمل عليه هو الأسواق المالية المتواصلة باستخدام حساب التفاضل والتكامل العشوائي الذي وضعته إيتو في صيغتي موسيلا وروتكوسكي (2008). ويفترض عموما أن تتبع أسعار الأوراق المالية انتشارا للنمط دس (t) = μ (t) دت + σ (t) دو (t) S (t) حيث W (t) هي حركة براونية، μ يسمى الانجراف الفوري و σ (t) تقلب لحظية للعملية العشوائية S (t). هذه الأطروحة النظرية والعملية. نقدم نماذج جديدة ونتائج نظرية جديدة. في كل مرة نقدم نموذجا أو نتيجة جديدة، ومع ذلك، سوف نقدم أيضا معايرة لها إلى بيانات السوق أو الأداء التاريخي وتحليل تلك النتائج. في الجزء 2 نقدم نموذجا عاملين من المنحنيات السلعية إلى الأمام وتبين أنها تستنسخ السمات التاريخية الرئيسية للمنحنيات إلى الأمام من أربع سلع مختلفة. كما نستكشف خصائصها النظرية ونعيد صياغتها من حيث العوامل المتوسطة العائدة التي تثير صدمة منحنى التقدم المستمر. وباستخدام هذا النموذج العشوائي المعياري للمنحنى الأمامي يمكننا استخلاص تطور تقريبي لعقود الأسعار المتوسطة مثل المواد الغذائية مقابل الأصول في الجزء 3. وهذا يسمح لنا بعد ذلك بإيجاد صيغ تقريبية ولكن مغلقة الشكل للخيارات الآسيوية التي تأخذ في الاعتبار السمات الرئيسية من العقود الآجلة للسلع: مصطلح هيكل الأسعار ومصطلح هيكل التقلبات، فضلا عن فترات المتوسط ​​القصير نسبيا. ثم نقوم بمقارنة الأسعار التي تم الحصول عليها لأسعار السوق من خيارات الشحن والعثور على تناسب جيد جدا لبيانات السوق. في الجزء 4 نستخدم نموذج منحنى النفط الخام إلى الأمام، وبيانات عن أسواق الشحن والبرمجة الديناميكية العشوائية لصياغة التوجيه الأمثل ومشكلة التخزين العائمة. بعد صياغة مشكلة التوقف الأمثل لتداول النفط الخام عبر المحيط الأطلسي، نقوم بدراسة النتائج التجريبية لهذه التجارة خلال الفترة 2007-2009 وتحديد سماتها الرئيسية: ما هي الشروط التي يجب أن تكون مقتنعة لكي تكون مثيرة للاهتمام، عند أداءها جيدا وما هي أصولها من الأرباح. 11 2. نموذج السوق 1. الأساس المنطقي يميل محللو وسائل الإعلام والسلع الأساسية إلى التركيز على اتجاهات الأسعار على أساس التطور المتوقع في العرض والطلب. وهذه مهمة مهمة، ولكن أسواق السلع الأساسية متقلبة، كما أن النمو المتوقع بنسبة 2 في المائة سوف يتضاءل بسبب تقلب الأسعار بنسبة أربعين في المائة كما هو الحال بالنسبة للنفط الخام. وتنعكس توقعات السوق في أرصدة العرض والطلب في المستقبل في أسواق العقود الآجلة لمختلف السلع. معظم أسواق السلع لديها الآن منحنيات السائلة إلى الأمام مع آجال طويلة، وهذه المنحنيات إلى الأمام الكامل ينبغي أن توجه الاستثمار طويلة الأجل والقرارات التشغيلية، وليس فقط السعر الفوري. ومع أخذ ذلك في الاعتبار، يجب أن يوفر نموذج لأسعار السلع الأساسية نموذجا واقعيا لتطور المنحنى الأمامي الكامل وتقلب العقود المختلفة. ويمكن بعد ذلك استخدام هذا النموذج في مجموعة متنوعة من التطبيقات، مثل تسعير المشتقات الأخرى أو الأصول الحقيقية ذات المرونة التشغيلية. ويجب أن يكون لهذا النموذج أيضا عدد قليل من البارامترات وأن يتوافق مع الواقع عند معايرة أسعار السوق. مع نموذج حدودي واقعي، يمكن الحصول على التعبيرات التحليلية لأسعار الخيارات والأصول الحقيقية بسهولة، كما سيظهر في الجزءين 3 و 4. 2. الأدب الحالي ركزت الدراسات المبكرة لأسواق السلع الأساسية على نمذجة السعر الفوري، حيث أنه هو سعر السوق الوحيد الملحوظ. وبعد العمل في أسواق الأسهم، تم حساب السعر الفوري على أنه حركة براونية هندسية ذات معدل نمو ثابت، مثل برينان وشوارتز (1985) وبادوك وآخرون (1988) للنفط الخام. وإذا لاحظنا أن القرارات المستندة إلى الأسعار في جانب العرض أو الطلب سوف يكون لها ميل لإعادة الأسعار إلى مستوى التوازن، فإن مؤلفين آخرين مثل ديكسيت و بينديك (1994) قد فضلوا نمذجة السعر الفوري باعتباره عملية تعني العودة إلى معروفة والقيمة المتوسطة الثابتة. وقد وضع Ådland (2003) نموذج السعر الفوري الذي يعيد تحويل أسعار الشحن، معتبرا استخدام نموذج السعر الفوري بسبب غياب السيولة في السوق الآجلة. وهذه النماذج ذات العامل الواحد من السعر الفوري تعطي حدسا جيدا لسلوك الأسعار، ولكنها تفشل في التقاط آثار هامة، أبرزها تحولات المنحنيات الآجلة من التنازل إلى التخلف وتقلب العقود الآجلة فيما يتعلق بالنضج. لونغستاف، سانتا كلارا وشوارتز (1999) بالتفصيل كيف فشل في حساب لعدة عوامل يؤدي إلى استراتيجيات ممارسة دون المستوى الأمثل في سوق سوابتيونس. من أجل حساب هذا جيبسون وشوارتز (1990) إدخال العائد العائد العشوائي المتوسط ​​العائد. في نموذجها هناك بالتالي عاملين صدمة منحنى إلى الأمام: السعر الفوري، مما يؤثر على مستويات، والراحة العائد، مما يؤثر على المنحدر. ويمكن إعادة تفسير هذا النموذج المكون من عاملين من حيث الصدمات الطويلة الأجل والقصيرة الأجل، كما في بيكر ومايفيلد وبارسونز (1998) وشوارتز وسميث (2000). وفي هذا النموذج، يصاب السعر الفوري بالصدمة بسبب عامل قصير الأجل يعيد المتوسط، وعاملا مستمرا على المدى الطويل. (12) هذه النماذج كلها نماذج أسعار فورية: فهي تسعى إلى تفسير سلوك السعر الفوري، وهو عادة السعر الملحوظ والأكثر سيولة. ثم يقومون بتداول العقود الآجلة من هذه العملية عن طريق إدخال سعر السوق للمخاطر والتسعير الخالي من المراجحة، واستخلاص العملية للمنحنى الأمامي. ويتكون النهج المعاكس من أخذ المنحنى الأمامي الكامل باعتباره العملية الأساسية. و ميلتيرسن و شوارتز (1998) و كليلو و ستريكلاند (2000) و سكلافونوس و إليفسن (2009) تطوير مثل هذا النموذج مستوحى من نموذج هيث و جارو و مورتون (1992) متعدد العوامل لمصطلح هيكل أسعار الفائدة. وهو يتألف من تحلل مصفوفة التباين في المنحنى الأمامي إلى عدد صغير من المكونات الرئيسية المتعامدة. ثم يتم اشتقاق عملية السعر الفوري كما السعر الأمامي من منحنى إلى الأمام. وهذا هو النهج الذي سنعتمده، ولكننا سنجعل فرضيات حدودي حول الأشكال المكون الرئيسي ومعايرة هذه إلى مصفوفات التباين. 3. تحليل البيانات الاستكشافية من أجل الحصول على فكرة عن السمات الرئيسية لأسواق السلع إلى الأمام سنبدأ بتحليل للأسعار التاريخية للسلع المختلفة. السعر الفوري في الشكل 1 نقدم السعر الفوري للسلع المختلفة خلال الفترات الزمنية الأخيرة. في العديد من الأسواق، مثل النفط الخام، ويفهم هذا السعر الفوري ليكون سعر العقود الآجلة في الشهر الأمامي مع التسليم الفعلي. في الأسواق الأخرى، مثل الشحن، السعر الفوري هو مؤشر يتم تجميعه يوميا باستخدام تثبيتات بقعة من وسطاء مختلفين، والتي يتم فيها تسوية العقود الآجلة المالية. 350 النفط الخام زيت التدفئة الغاز الطبيعي TD3 الشحن 300 250 200 150 100 50 0 2005 2006 2007 2008 2009 2010 الشكل 1. الأسعار الفورية اليومية للنفط الخام وزيت التدفئة والغاز الطبيعي وطريق الشحن TD3 من يناير 2005 إلى 2009. إندكس = 100 في 1 يناير 2005. 13 المنحنيات الآجلة النفط الخام الغاز الطبيعي ق السعر الآجل 160 16 ق السعر الآجل 14 140 12 السعر ($ / مليون وحدة حرارية بريطانية) السعر (بالدولار) 120 100 10 8 80 6 60 40 2005 4 2006 2007 2008 2009 2 2005 2006 2007 2008 2009 2010 الشکل 2 الأسعار الفوریة والآجلة للنفط الخام والغاز الطبیعي في تاریخ مختلف یعرض الشکل 2 المنحنيات الآجلة للنفط الخام والغاز الطبیعي في تاریخ مختلف. نلاحظ أن مستوى المنحنيات إلى الأمام يتحول مع السعر الفوري وأن المنحنيات الانتقال بين كونتانغو والتخلف. وعلاوة على ذلك، المنحنيات إلى الأمام للغاز الطبيعي لديها نمط موسمي جزءا لا يتجزأ منها. تقلب هيكل الأجل 120 النفط الخام زيت التدفئة الغاز الطبيعي TD3 الشحن 110 100 التقلب (٪) 90 80 70 60 50 40 30 20 0 5 10 الوقت إلى تاريخ الاستحقاق τ (أشهر) 15 الشكل 3. هيكل تقلب العقود الآجلة للنفط الخام النفط، زيت التدفئة، الغاز الطبيعي و TD3 الشحن الشكل 3 يعرض مصطلح هيكل التقلبات للنفط الخام، زيت التدفئة، الغاز الطبيعي و TD3 الشحن. هذا هو التقلب التاريخي للعقود ذات الوقت الثابت حتى تاريخ االستحقاق. ونلاحظ أنه بالنسبة لجميع هذه السلع، فإن تقلبات العقود قصيرة الأجل أعلى من تقلب العقود على المنحنى، على نحو متسق مع فرضية سامويلسون (1965). وهذه سمة هامة من سمات أسواق السلع الأساسية وتحدث لأنها أكثر مرونة في المدى القصير عنها في المدى الطويل. وفي حالة تشبع سوق الصهاريج من المستحيل إضافة سفن جديدة في غضون شهر، ولكن يمكن بناء سفن جديدة لاستيعاب الطلب المتزايد في السنوات المقبلة. 14 هيكل الارتباط لا تتحرك الأسعار الآجلة لسلعة معينة بشكل مستقل. إن مراقبة مصفوفة الارتباط للعقود ذات آجال استحقاق مختلفة تحدد العلاقة بين هذه الحركات. ويعرض الشكل 4 مصفوفة الارتباط لعقود النفط الخام. تظهر مصفوفة الارتباط ارتباطا قويا بين العقود المختلفة، مع ارتباط 84٪ بين عقد الشهر الأول و 60 شهرا. غير أن الترابط بين عقد الشهر الأول والعقود الأخرى يتلاشى بسرعة أكبر من الترابط بين عقد 60 شهرا والعقود المجاورة. 1 الارتباط 0.95 0.9 0.85 0.8 60 40 20 τ2 (أشهر) 0 0 20 10 30 40 50 60 τ1 (أشهر) الشكل 4. هيكل الارتباطات الآجلة للنفط الخام تحليل المكونات الرئيسية للحصول على مزيد من التبصر في هيكل الحركات المشتركة من والأسعار الآجلة يمكننا القيام بتحليل المكونات الرئيسية (يكا) من سلسلة الأسعار. ويتألف ذلك من إيجاد قيم ذات قيمة ذاتية ومستقبلية لمصفوفة التباين المشترك. يمكن تفسير القيم الذاتية على أنها تقلبات كل من العوامل و إيجنفكتورس كما الأوزان التي المكونات الرئيسية صدمة منحنى إلى الأمام. نعرض نتائج يكا من سوق النفط الخام في الشكل 5. كما يتبين من هذه النتائج، العامل المهيمن هو العامل الأول، الذي يمثل 96.9٪ من التباين. هذا العامل هو عامل التحول الموازي، وتحويل الأسعار إلى الأمام في نفس الاتجاه. العامل الثاني، الذي يفسر 2.8٪ من التباين، يؤثر على منحدر منحنى الأمام من خلال صدمة الأمامية والطويلة من منحنى إلى الأمام مع علامات مختلفة. هذا يمثل التحولات من كونتانغو إلى التخلف. العامل الثالث يؤثر على تحدب منحنى الأمام من خلال صدمة الأمامية والطويلة ينتهي إيجابيا ووسط المنحنى سلبا. 15 2 60 1 بيسي ويت u (τ) 1.5 40 فولاتيليتي (٪) 50 بيسي 1 بيسي 2 بيسي 3 30 0.5 20 0 10 -0.5 0 -1 1 2 3 المكون الرئيسي 4 5 تقلب المكونات الرئيسية الخمسة الأولى 0 10 20 30 40 زمن االستحقاق τ) أشهر (50 60 أوزان المكونات الرئيسية الشكل 5. التذبذبات واألوزان للمكونات الرئيسية األولى لسوق النفط الخام 4. نموذج ثنائي لعقود السلع اآلجلة النظر في سوق السلع األمامية حيث نحن على كل منها) (t، T) على السعر الفوري S (t) في التاريخ T. S (t) يمكن أن يمثل السعر الفوري لبعض السلع القابلة للتداول في الوقت t (على سبيل المثال درجة معينة من النفط الخام عند موقع محدد)، أو القيمة المنشورة اليومية للمؤشر. إذا تم إدخال موضع طويل األجل في التاريخ t، فسيتلقى الفرق S) T (- F) t، T (في التاريخ T. غياب التحكيم يعلن لنا) موسيلا وروتكوسكي، 2004 (أنه في ظل التدبير المحايد للمخاطر) ، T * (B) T (T) T (T) T = F (t، T) = = F (t، T) = إت * [S (T) ) الوقت t سعر الصفر القسيمة السندات التي ينضج في الوقت T. السعر إلى الأمام من S في الوقت t هو توقع السعر الفوري في الوقت T، في إطار قياس محايد المخاطر وبالنظر إلى المعلومات في الوقت ر. وفي بعض الأسواق التي تكون فيها البقعة قابلة للتخزين، مثل الأسهم أو العملات، هناك مراجحة ضيقة تفرض العلاقة بين الأسعار الفورية والآجلة. وفي الأسواق التي تكون فيها المخزونات محدودة، مثل النفط الخام أو الشحن، يتم تحديد السعر الآجل حسب العرض والطلب. ليس هدفنا هنا فرض نموذج حدودي لشكل منحنى الأمام الأولي، الذي نأخذه على النحو المعطى، ولكن لإعطاء نموذج تطورها العشوائي في المستقبل. بعد بيكر ومايفيلد وبارسونز (1998) وشوارتز وسميث (2000)، نقترح نموذجا عاملين للتطور العشوائي للمنحنى الأمامي. نحن نقدم هذا النموذج كنموذج منحنى إلى الأمام بدلا من نموذج السعر الفوري، بالنظر إلى أن أسواق المشتقات السلعية عموما أكثر سيولة من نظيراتها المادية، وتحتوي على مزيد من المعلومات للمعايرة على من السعر الفوري. 16 نقترح النموذج التالي ذو العاملين للمنحنى الأمامي تحت القياس المحايد للمخاطر: دف (t، T) = σ S e-α (T-t) دوز (t) + σ L دول (t) F t، T) دوز دول = ρ دت (2.2) هذا نموذج من أربع معلمات، كما سنعرض المعلمات يمكن تفسيرها على النحو التالي: • σ S هو تقلب الصدمات قصيرة الأجل إلى منحنى إلى الأمام، • σ L هو تقلب الصدمات على المدى الطويل، α هي سرعة انعكاس المتوسط، قياس مدى سرعة تبدد الصدمات قصيرة الأجل، ρ هي العلاقة بين الصدمات قصيرة الأجل وطويلة الأجل. التباين والترابط ينطوي هذا النموذج على مصفوفة التباين بين العقود التي يمكن حسابها كدالة للمعلمات. • مصفوفة التباين: Σ t (T1، T2) = دف (t، T1) دف (t، T2) 1 كوف، دت F t، T1) F (t، T2) 2 = (T1-t) + ρσ L) σ S e - α (T2 - t) + ρσ L) + (1 - ρ 2) σ L (2.3) = Σ(τ 1,τ 2 ) where τ k = Tk − t is the time to maturity of the contract • Futures instantaneous volatility function: σ inst (t , T ) = (σ S e−α (T −t ) + ρσ L ) 2 + (1 − ρ 2 )σ L 2 = σ inst (τ ) • (2.4) 2 σ 0 = (σ S + ρσ L ) 2 + (1 − ρ 2 )σ L ( 2.5) Spot volatility: 17 • Correlation matrix: dF (t , T1 ) dF (t , T2 ) Σ(T1 , T2 ) , = F (t , T1 ) F (t , T2 ) σ inst (t , T1 )σ inst (t , T2 ) ρt (T1 , T2 ) = Corr (σ S e −α (T1 −t ) + ρσ L )(σ S e−α (T2 −t ) + ρσ L ) + (1 − ρ 2 )σ L 2 = 1/2 2 (σ S e −α (T1 −t ) + ρσ L )2 + (1 − ρ 2 )σ L = ρ (τ 1,τ 2 ) 1/2 2 (σ S e −α (T2 −t ) + ρσ L ) 2 + (1 − ρ 2 )σ L (2.6) All these quantities depend only on the time-to-maturities τ = T − t of the contracts involved, and not on time t. Implied spot price process In Appendix 2 we show that the spot price model consistent with this forward curve model is: dlog S (t ) = α ( µ (t ) − log S (t ))dt + σ S dW1 (t ) + σ L dW2 (t ) d µ (t ) = m(t )dt + σ L dW2 (t ) (2.7) i. e. the spot price is mean-reverting to a stochastic mean. This is equivalent to the Schwartz and Smith (2000) model which can be rewritten as µ dlog St = κ ξ + ξt − log St dt + σ χ dz χ + σ ξ dzξ κ dξ t = µξ dt + σ ξ dzξ (2.8) From equation (2.7) we can see that α can be interpreted as the speed of mean-reversion and σ L as the volatility of the long-term shocks. 5. Principal components analysis As discussed in Sclavounos and Ellefsen (2009), futures markets can be analyzed and modeled in a nonparametric way through principal components analysis (PCA) of the covariance matrix, leading to a multifactor Heath-Jarrow-Morton model of the form dF (t , T ) d = ∑ σ k (t , T )dWk , F (t , T ) k =1 dWk dWl = δ kl dt (2.9) Given the parametric model presented here, we can perform a PCA of the model’s covariance matrix and deduce the shape of its principal components. This will allow us to reformulate the model in terms of independent factors that can be interpreted in terms of their actions on the forward curve. 18 In the continuous setting we perform the Karhunen-Loève decomposition of the process following Basilevsky (1994). Let f (t, τ ) = F (t , t + τ ) be the constant-maturity forward with time-to-maturity τ . We want to decompose its evolution into: ∞ df (t, τ ) = µ (t, τ )dt + ∑ λk uk (τ )dzk f (t, τ ) k =1 (2.10) Where: • The zk are independent Brownian motions • The functions uk are the eigenvectors of the covariance matrix Σ(τ 1,τ 2 ) with associated eigenvalues λk : for some arbitrary maximal tenor τ max , τ max ∫ Σ(τ 1,τ 2 )uk (τ 2 )dτ 2 = λk uk (τ 1 ) 0 (2.11) τ max ∫u 2 k (τ )dτ = 1 0 We solve this eigenvector problem analytically in Appendix 3, and show that there are only two distinct functions uk (because it is a two-factor model), and they can be written in the form uk (τ ) = Ak e−ατ + Bk (2.12) where ( Ak , Bk ) and λk are solutions of the two-dimensional eigenvalue problem τ max 2 −ατ −ατ ∫ (σ S e 2 + ρσ Sσ L )e 2 dτ 2 A λk k = τ 0 Bk max 2 ( ρσ Sσ L e−ατ 2 + σ L )e −ατ 2 dτ 2 ∫ 0 τ max 2 (σ S e−ατ 2 + ρσ Sσ L )dτ 2 0 Ak τ max B −ατ 2 2 k ∫ ( ρσ Sσ L e + σ L )dτ 2 0 ∫ (2.13) The volatility of factor k is then related to λk by σ k = λk . The shape of the eigenfunctions is given in Figure 6 in the case of crude oil futures. We can notice that u1 corresponds to parallel shifts of the forward curve, whereas u2 corresponds to tilts. This is consistent with the two first factors observed doing a PCA of the historical covariance matrix (Sclavounos and Ellefsen, 2009). 19 1.5 u1(τ) u2(τ) 1 0.5 0 -0.5 0 10 20 30 TTM (m) 40 50 60 Figure 6. Shape of the eigenfunctions u1 (τ ) and u2 (τ ) for σ S = 18.1% , σ L = 23.3% , α = 0.842 yr −1 , ρ = 0.195 and τ max = 5 years This allows us to reformulate the evolution of the individual forward contract expiring at date T, in the riskneutral measure: dF (t , T ) = σ 1u1 (T − t )dz1 (t ) + σ 2u2 (T − t )dz2 (t ) F (t , T ) (2.14) Constant-maturity forward curve In Appendix 4 we show how this translates to the evolution of constant-maturity forward curve. We show that the constant-maturity futures price f (t, τ ) = F (t , t + ) can be written as: log f (t, τ ) = log F (0, t + τ ) + ψ 1 (t, τ ) + ψ 2 (t, τ ) + g1 (t ) + g 2 (t ) + u1 (τ ) f1 (t ) + u2 (τ ) f 2 (t ) (2.15) where: df k (t ) = −α k f k (t )dt + σ k dWk (t ) dg k (t ) = Bkα k f k (t )dt 1 dψ k (t, τ ) = − σ k2uk2 (t + τ )dt 2 Thereby we have decomposed the forward curve’s shape at time t into • Its initial shape F (0, t + τ ) , which under the risk-neutral measure is also its expected shape • A deterministic risk-neutral drift ψ 1 (t, τ ) +ψ 2 (t, τ ) ensuring that Et*[ F (t , T )] = F (0, T ) 20 (2.16) • A stochastic drift g1 (t ) + g 2 (t ) , independent of the maturity τ • Two independent mean-reverting factors f1 (t ) and f 2 (t ) (volatilities σ k and mean-reversion speeds α k ), giving rise to a parallel shift and a tilt, according to the shape of the factor weights uk (τ ) The spot price process S (t ) is given by the zero time-t o-maturity price f (t , 0) . This allows us to express the evolution of the forward curve as the result of shocks from two independent mean-reverting factor values. f1 , the parallel shift factor, affects the average level of the forward curve and is the dominant factor. f 2 , the tilt factor, affects the slope of the forward curve, as seen in Figure 7. u2(τ)f2 u1(τ)f1 u2(τ)f2 Figure 7. Effect of a positive parallel shift (left) and tilt (right) on the forward curve 6. Forward curve seasonality A number of commodities have seasonal prices. It appears because demand or supply is seasonal, and inventories are not sufficient to smooth this seasonality out over the year. Examples of seasonal commodities are heating oil and natural gas (winter heating demand), gasoline (summer driving season and different volatility requirements during summer and winter) and agricultural products (seasonal supply). This seasonality in spot prices is reflected in the forward prices because of market expectations. The difficulty when analyzing such forward prices is that the seasonality masks the underlying shifts in level and tilt that we are interested in. When considering such a seasonal commodity, the forward curve can be decomposed into a trend component and a seasonal component: log F (t , T ) = log FT (t , T ) + log FS (t , T ) 21 (2.17) The trend component FT (t , T ) represents the underlying non-seasonal forward curve, whereas the seasonal component FS (t , T ) , which for a given t is 1-year-periodic in T , represents the seasonal aspects of the curve. Pilipovic (2007) suggests a functional form that we have successfully applied to the natural gas and heating oil markets. In Section 2.10 we will show that this form is also consistent with the static shape of our three-factor model. For the trend component, log FT (t , T ) = ( A1e−α1 (T −t ) + B1 ) f1 + ( A2e −α 2 (T −t ) + B2 ) f 2 + ( A3e −2α3 (T −t ) + B3e−α3 (T −t ) + C3 ) f 3 (2.18) This functional form is flexible enough to reproduce the shapes of the underlying forward curve. For the seasonal component, we use sinusoidal seasonality with two harmonics (time must be measured in years) log FS (t , T ) = a1 cos(2π (T − t )) + b1 sin(2π (T − t )) + a2 cos(4π (T − t )) + b2 sin(4π (T − t )) (2.19) The only test of this model is how good the fit to the forward curve is. We find the parameters by leastsquares minimization for each day in the data set. A selection of forward curves is presented in Figure 8. While the fit is not perfect, the trend component seems to correctly capture the underlying trend, and that is what we are ultimately interested in. We then use this trend as the new forward curve, and carry out the rest of the calibration procedure on it. 7 9.5 Forward curve Fitted curve Trend component 6.5 Forward curve Fitted curve Trend component 9 8.5 6 8 5.5 7.5 5 4.5 7 0 10 20 30 40 50 6.5 60 May 21, 2004 0 10 20 30 May 15, 2008 Figure 8. Fitted Natural Gas forward curves on different dates 22 40 50 60 1 1 0.8 0.6 0.6 ρ ρ 0.8 0.4 0.4 0.2 0.2 60 0 60 40 40 20 τ2 (months) 0 0 10 30 20 40 50 60 20 τ2 (months) τ1 (months) 0 0 10 20 30 40 50 60 τ1 (months) After deseasonalizing Before deseasonalizing Figure 9. Correlation surfaces of Natural Gas futures before and after deseasonalizing the curves Figure 9 shows the effect of the procedure on the correlation surface. The results of calibrating the two-factor model to this new correlation surface are discussed below. 7. Market calibration To be successful the model needs to correctly reproduce the volatilities and instantaneous correlations of the traded instruments. We show that there is a good fit to the crude oil, tanker shipping, natural gas and heating oil markets. Method 1: Least squares fit of the covariance matrix In order to calibrate the model, we perform the following steps: 1. If the forward curve is seasonal (such as natural gas, gasoline, heating oil), deseasonalize it using the technique described above (Section 2.6), and keep only the non-seasonal part FT (t , T j ) 2. From the available set of contract prices F (t , T j ) , construct constant-maturity prices f (t, τ j ) by linear interpolation using log f (t, τ j ) = (t + τ j − T j ) log F (t , T j +1 ) + (T j +1 − t − τ j ) log F (t , T j ) T j +1 − T j , T j < t + τ j < T j +1 (2.20) 3. From observations of f (t, τ j ) at dates t1 . tM +1 , construct logarithmic returns net of roll yield and their mean value 23 f (ti, τ j ) ∂ log f (ti −1,τ j ) R(ti, τ j ) = log , − (ti − ti −1 ) f (ti −1,τ j ) ∂τ R (τ j ) = 1 M M ∑ R(t, τ i =1 i j ) (2.21) 4. Calculate the historical covariance matrix 1 ɶ Σ(τ j, τ k ) = M M ∑ ( R(t, τ i i =1 j ) − R (τ j ))( R(ti, τ k ) − R (τ k )) (2.22) 5. Find the parameters σ S , σ L , α , ρ that minimize the squared error: N ∑ Σσ αρ min σ S, σ L , , j , k =1 S, σ L, α , ρ ɶ (τ j, τ k ) − Σ(τ j, τ k ) 2 (2.23) The results are presented in Table 1 for the crude oil, shipping, natural gas and heating oil markets. The results indicate that a satisfactory fit to the volatility term structure and correlation surface can be obtained using the two-factor model presented here. The best calibration results are obtained for crude oil futures, which is arguably the most liquid market of the four. It is also interesting to note the differences between the values obtained. The short-term volatility of shipping futures is extremely high, at 143%, reflecting the high spot price volatility, but its long-term volatility is comparable to the other markets, at 28.7%. 24 Table 1. Calibration results for different commodity markets Crude oil (Nymex WTI) Tanker shipping (Imarex TD3) Contracts: Imarex TD3 futures Frequency: daily Frequency: weekly Source: Thomson Datastream Parameters Period: January 2005 – March 2009 Contracts: NYMEX WTI futures Data Period: April 2005 – October 2008 Source: Imarex σS σL α ρ σS σL α ρ 18.1% 23.3% 0.842 0.195 143% 28.7% 3.32 -0.01 120 33 Historical Model 32 Historical Model 31 100 Vol (% annual) Vol (% annual) Volatility 30 29 28 27 80 60 26 25 40 24 23 0 10 20 30 TTM (m) 40 50 20 60 Volatility term structure of crude oil futures Historical Model 1 0 2 4 6 TTM (m) 8 10 12 Volatility term structure of TD3 futures Historical Model 1 0.9 0.95 0.8 Correlation 0.9 0.7 0.6 0.85 0.5 0.4 15 0.8 60 10 40 20 τl (m) 0 0 10 20 30 40 50 5 60 τl (m) τk (m) 0 0 2 4 6 8 10 τk (m) Correlation surface of TD3 futures Correlation surface of crude oil futures 25 12 2.5 1.5 u1(τ) Principal Components u1(τ) 2 u2(τ) u2(τ) 1.5 1 1 0.5 0.5 0 0 -0.5 -1 -0.5 0 10 20 30 TTM (m) 40 50 60 -1.5 0 2 4 6 TTM (m) 8 10 12 Model principal components for crude oil Model principal components for TD3 futures Natural Gas (Nymex Henry Hub) Heating oil (Nymex New York Harbor) Period: May 2002 – August 2009 Contracts: NYMEX NG futures Contracts: NYMEX HO futures Frequency: daily Frequency: daily Source: Reuters Source: Reuters σS σL α ρ σS σL α ρ 53% Parameters Data Period: October 2002 – August 2009 17.3% 0.762 -0.172 27.6% 26.4% 1.386 0.228 65 40 Historical Model Historical Model 60 38 55 36 45 Vol (% annual) Vol (% annual) Volatility 50 40 35 30 34 32 30 25 28 20 15 0 10 20 30 TTM (m) 40 50 26 0 60 Volatility term structure of natural gas futures 2 4 6 8 10 TTM (m) 12 14 16 Volatility term structure of heating oil futures 26 18 1 Historical Model 1 Historical Model 0.98 0.8 0.96 0.94 0.6 Correlation 0.92 0.9 0.4 0.88 0.2 60 0.86 20 40 10 20 τl (m) 0 0 10 20 30 60 50 40 20 15 10 5 0 τk (m) τk (m) Correlati on surface of heating oil futures Correlation surface of natural gas futures 1 2 u1(τ) u1(τ) 0.8 Principal Components 0 τl (m) u2(τ) 0.6 u2(τ) 1.5 1 0.4 0.5 0.2 0 0 -0.5 -0.2 -1 -0.4 -0.6 0 10 20 30 TTM (m) 40 50 -1.5 0 60 Model principal components for natural gas 27 2 4 6 8 10 TTM (m) 12 14 16 18 Model principal components for heating oil Method 2: Calibration of the individual factors The first two principal components have a simple expression in this model, and can be used for calibration. The method is the same as above, but we replace steps 4 and 5 with: ɶ 4’. Calculate the PCA of the historical covariance matrix and extract the first two factor loadings u1 (τ j ) , ɶ u2 (τ j ) 5’. Calibrate the exponential functional form on each of the factors by least squares: N min Ak , Bk, α k ɶ ∑ u (τ j =1 k j ) − ( Ak e −α kτ j + Bk ) 2 (2.24) We present the results of this method for crude oil futures in Table 2 and Figure 10. Table 2. Principal component parameters for crude oil futures, using two calibration methods Principal Component 1 Principal Component 2 Method 1 Method 2 Method 1 Method 2 σ 54.91 % 54.91 % 9.53 % 9.50 % A 0.1218 0.1205 1.7639 1.7385 B 0.4177 0.4189 -0.4435 -0.5148 α 0.8422 0.8713 0.8422 0.6707 0.54 1.4 Historical Method 1 Method 2 0.52 Historical Method 1 Method 2 1.2 1 0.5 0.8 0.6 0.48 0.4 0.46 0.2 0 0.44 -0.2 0.42 -0.4 0.4 0 10 20 30 TTM (m) 40 Principal Component 1 50 60 -0.6 0 10 20 30 TTM (m) 40 50 60 Principal Component 2 Figure 10. Fit of the shape of the two principal components using the two different calibration methods 28 We see that the two methods give very close results, except that the second method allows for a differe nt value of α which gives a slightly better fit to the second principal component. It should be noted that Method 2 adds one extra free parameter by allowing α1 and α 2 to be different. 8. Forward risk premia – from the risk neutral to the objective measure The present model has been formulated under the risk-neutral measure. The prices evolve under the real measure. The change of measure from the risk-neutral to the real measure involves introducing a riskpremium λk for each of the Brownian motions Wk . We assume this risk premium to be constant. dWk → dWk + λk dt (2.25) This will affect the factor processes f k (t ) and g k (t ) studied in Section 2.5: t f k (t ) = σ k ∫ e−α k (t − s ) (dWk ( s ) + λk ds ) 0 t df k (t ) = σ k dWk (t ) + σ k λk dt + σ k ∫ (−α k e −α k ( t − s ) )(dWk ( s ) + λk ds ) (2.26) 0 df k (t ) = (σ k λk − α k f k )dt + σ k dWk (t ) = ( µ k − α k f k )dt + σ k dWk (t ) And for the drift process g k (t ) : t g k (t ) = Bkσ k ∫ (1 − e−α k ( t − s ) )(dWk ( s ) + λk ds ) 0 t dg k (t ) = Bkσ k dWk (t ) + λk dt − dWk (t ) + λk dt + ∫ (−α k )e −α k ( t − s ) (dWk ( s ) + λk ds )dt (2.27) 0 dg k (t ) = Bkα k f k (t )dt Hence the factor process f k (t ) follows an Ornstein-Uhlenbeck process mean-reverting to µk = σ k λk / α k instead of 0. The definition of g (t ) does not change. We let µk = σ k λk be the drift term for the factor k. The stochastic evolution of the forward price with tenor T can then be written as dF (t , T ) = ( µ1u1 (T − t ) + µ2u2 (T − t ))dt + σ 1u1 (T − t )dW1 + σ 2u2 (T − t )dW2 F (t , T ) (2.28) These results show how to incorporate drifts of the forward curve into the model. These can be based on historical evidence of drifts in prices or subjective evaluations of the expected future prices. This allows 29 valuation models of physical assets to take into account forecasts of future price evolution. Financial derivatives, however, will be valued under the risk-neutral measure. 9. Extension to three factors The model we have considered is sufficient to reproduce the volatility and correlation term structures of most forward markets. However, it only allows for certain movements of the forward curve, i. e. parallel shifts and tilts. As shown previously in the Principal Components Analysis, the forward curve does have other movements, and the third principal component is generally understood to correspond to changes in curvature. Certain strategies, such as a butterfly trade, are especially sensible to this kind of change. We suggest modeling the third principal component as u (τ ) = Ae−2ατ + Be−ατ + C (2.29) As is shown in Figure 11 it gives a good fit to the third principal component calculated from a historical covariance matrix. With parameters A and C positive and B negative the function u (τ ) will take positive values for small times-to-maturity, negative values for intermediate τ , and then positive values again, thereby affecting the convexity of the curve. Figure 11. Fit of the parametric third PC to the third PC from the covariance matrix (crude oil) 30 u3(τ)f3 u3(τ)f3 u3(τ)f3 Figure 12. Effect on the forward curve of a positive shock from the third principal component In order to study its interpretation we will consider its effect on the constant-maturity forward curve, as we did in Section 2.4 for the first two components. In Appendix 5 we show that the constant-maturity forward curve can be written as 2 log f (t, τ ) = log F (0, t + τ ) + ∑ (ψ k (t, τ ) + g k (t ) + uk (τ ) f k (t )) k =1 +ψ 3 (t, τ ) + B3e −α 3τ (2.30) g3 (t ) + C3 h3 (t ) + u3 (τ ) f 3 (t ) where df 3 (t ) = −2α 3 f 3 (t ) + σ 3 dW3 (t ) (Ornstein-Uhlenbeck process) dg 3 (t ) = α 3 ( f 3 (t ) − g3 (t ))dt g 3 (t ) = α 3 ∫ e−α3 ( t − s ) f3 ( s )ds t (2.31) 0 dh3 (t ) = 2α 3 f (t )dt t h3 (t ) = 2α 3 ∫ f 3 ( s )ds 0 The process f 3 (t ) is an Ornstein-Uhlenbeck process mean-reverting to zero with mean-reversion speed 2α 3 and volatility σ 3 . The processes g3 (t ) and h3 (t ) are stochastic drifts – integrals of f 3 (t ) with different weights. 10. Model of the static forward curve While the starting point of our modeling is that the initial forward curve F (0, T ) is given, there are situations where one would want to model this curve with a small number of parameters. Using the factor 31 model presented in this part, we can express the possible shapes of the curve when starting from an initial forward curve: N log f (t, τ ) = log F (0, t + τ ) + ∑ψ k (t, τ ) + g k (t ) + uk (τ ) f k (t ) (2.32) k =1 If we assume the initial forward curve to be flat, F (0,τ ) = F , this formulation simplifies to: N log f (t, τ ) = A(t ) + ∑ψ k (t, τ ) + uk (τ ) f k (t ) (2.33) k =1 Where A(t ) is a time-dependent scalar not depending on time-to-maturity τ and t 1 ψ k (t, τ ) = − ∫ σ k2 ( s, t + τ )ds 20 (2.34) This gives the possible shapes that can be taken by the forward curve given an initially flat curve. We can further simplify this by remarking that the first factor, the parallel shift factor, has a function u1 (τ ) that is almost constant, such that the constant term can be merged into the first factor value. Thereby the forward curve can be written as N f (t, τ ) = exp ∑ψ k (t, τ ) + uk (τ ) f k (t ) k =1 (2.35) Hence it can be described by N + 1 state variables: t , f1 . f N . Their initial values can be calibrated on the initial forward curve by calculating f k (0) = τ max ∫ u (τ ) log ( F (0,τ ) )dτ (2.36) k 0 This formulation also allows us to relate the average level of the forward curve and the first factor value by forming the geometric average weighted by u1 (τ ) : τ max u (τ ) F (t ) = exp ∫ w(τ ) log f (t, τ )dτ , w(τ ) = τ max 1 0 u (τ )dτ ∫ 0 32 1 (2.37) such that N τ max f1 (τ ) + ∑ ∫ u1 (τ )ψ k (t, τ )dτ k =1 0 F (t ) = exp τ max ∫ u1 (τ )dτ 0 (2.38) We can also examine the initial slope of the curve, that we will use to determine if the curve is in backwardation or contango: ∂f ∂τ = f (t , 0) τ =0 ∂ log f ∂τ (2.39) τ =0 and N ∂ψ k ∂uk ∂ log f =∑ + f k (t ) ∂τ ∂τ k =1 ∂τ (2.40) If we are considering a two-factor model, the first factor is almost flat such that its derivative is zero. In that case the only contribution comes from the second factor: ∂ log f ∂ψ 2 ∂u2 = + f 2 (t ) ∂τ ∂τ ∂τ (2.41) such that the initial slope of the forward curve is ∂f ∂τ τ =0 ∂ψ = f (t , 0) 2 ∂τ + τ =0 ∂u2 ∂τ τ =0 f 2 (t ) (2.42) Thus the value of f 2 (t ) determines the slope of the forward curve. 11. Applications of the market model Derivatives pricing The main application of stochastic models of forward curves is in derivatives pricing. The stochastic model that we have derived and calibrated allows for simple pricing of paper derivatives depending on the volatility of prices, such as European or Asian options written on the forward or spot price. In Part 3 we will derive analytical prices of commodity Asian options using the two-factor model derived here. 33 Real asset valuation and operation There are a number of physical assets whose value depends on commodity prices and forward curves. Oil or gas reservoirs are a simple example, but more complex assets such as refineries, power plants or oil in transit depend on these prices in a more complex way. Their value depends not only on the spot price but on the complete forward curve, and operational decisions should be made taking into account the possible future evolutions of the complete curve. The value of such an asset can be written as V (t , f (τ )) where f (τ ) is the current forward curve. If a twofactor model such as the one in this thesis is adopted, f (τ ) is a function of the initial forward curve F0 (τ ) , time t and the factor values f1 and f 2 , such that the value can be written V (t , f (τ )) = V (t , f1 , f 2 ) (2.43) The stochastic evolution of this value function can then be derived, using Ito’s formula and the independence of the factors, as dV = ∂V ∂V ∂V 1 ∂ 2V 2 1 ∂ 2V 2 dt + df1 + df 2 + df1 + df 2 ∂t ∂f1 ∂f 2 2 ∂f12 2 ∂f 22 ∂V ∂V ∂V 1 2 ∂ 2V 1 2 ∂ 2V ∂V ∂V = + ( µ1 − α1 f1 ) + ( µ2 − α 2 f 2 ) + σ1 + σ 2 2 dt + σ 1dW1 + σ 2 dW2 2 ∂f1 ∂f 2 2 ∂f1 2 ∂f 2 ∂f1 ∂f 2 ∂t (2.44) Associated with appropriate boundary conditions this allows for the calculation of the value of the real asset and the hedging of its value using the factors. In Part 4 we present the results of this methodology for a physical crude oil trade involving the shipment and possibly storage of crude oil. Risk evaluation Once a portfolio of paper and real assets has been valued, the risk of the portfolio can be evaluated using the market model presented here. We assume that given a forward curve f (τ ) and a date t the portfolio has a value V (t , f (τ )) . If we assume a two-factor model this value can be re-written as V (t , f1 , f 2 ) and its stochastic evolution as dV = µ (t , f1 , f 2 )dt + ∂V ∂V σ 1dW1 + σ 2 dW2 ∂f1 ∂f 2 (2.45) ∂V ∂V σ 1dW1 ( s ) + ∫ σ 2 dW2 ( s ) ∂f1 ∂f 2 0 0 (2.46) Thereby t t V (t ) = ∫ µ ( s, f1 ( s ), f 2 ( s ))ds + 0 Hence the expected value of V at a horizon t is 34 t t E [V (t ) ] = ∫ µ ( s, f1 ( s ), f 2 ( s ))ds (2.47) 0 and its standard deviation 1/2 2 t t ∂V 2 ∂V 2 2 Std[V (t )] = E ∫ σ 1 ds + ∫ σ 2 ds 0 ∂f1 ∂f 2 0 (2.48) These values can be calculated if the value of V as a function of the factors and time is known explicitly. Alternatively Monte Carlo simulation can be used, using the two independent processes f1 and f 2 , to estimate the complete distribution of V at the horizon time t. This Monte Carlo simulation will only require the simulation of two independent stochastic variables and not of each forward price separately. This information about the distribution of the portfolio value can be used to evaluate the risk of the position and calculate risk measures such as value-at-risk. Hedging As seen above a portfolio that depends on forward prices has, according to the two-factor model, a stochastic evolution that can be written dV = µ (t , f1 , f 2 )dt + ∂V ∂V σ 1dW1 + σ 2 dW2 ∂f1 ∂f 2 (2.49) = µ (t , f1 , f 2 )dt + δ1σ 1dW1 + δ 2σ 2 dW2 In order to hedge the risk related to factor k the portfolio must be complemented with a position of −δ k in ɶ the factor k. In that case the hedged portfolio V has the stochastic evolution ɶ dV = ( µ (t , f1 , f 2 ) − δ k ( µ k − α k f k ))dt + ∑ δ jσ j dW j (2.50) j ≠k Such a position in a specific factor can only be established with the traded futures F (t , T j ) , j = 1. N . The future with tenor T has the instantaneous evolution dF (t , T ) = F (t , T ) (σ 1u1 (T − t )dW1 + σ 2u2 (T − t )dW2 ) (2.51) Consider a portfolio with w j contracts F (t , T j ) , such that N dWk ⋅ dV = ∑ w j F (t , T j )uk (T j − t ) σ k dt j =1 35 (2.52) For this portfolio to hedge the factor f k while being unaffected by the factors f l , l ≠ k , the following equations must be satisfied: N ∑ w F (t , T )u (T j =1 j j k j (2.53) N ∑ w F (t , T )u (T j =1 − t) = 1 j j l j − t ) = 0, l ≠ k If the number of factors is smaller than N there are several solutions to the equations. If there are only two factors, this can be accomplished using two distinct contracts F (t , T1 ) and F (t , T2 ) . To hedge factor 1: u2 (T2 − t ) 1 w1 = F (t , T ) D(t , T , T ) w1 F (t , T1 )u1 (T1 − t ) + w2 F (t , T2 )u1 (T2 − t ) = 1 1 12 ⇒ w1 F (t , T1 )u2 (T1 − t ) + w2 F (t , T2 )u2 (T2 − t ) = 0 u (T − t ) 1 w =− 2 1 2 F (t , T2 ) D(t , T1 , T2 ) (2.54) where D (t , T1 , T2 ) = u1 (T1 − t )u2 (T2 − t ) − u2 (T1 − t )u1 (T2 − t ) . The portfolio with w1 contracts expiring at T1 and w2 contracts expiring at T2 replicates the stochastic part of the factor f1 . Similarly, the portfolio replicating the stochastic part of f 2 with these contracts is w1 = − u1 (T2 − t ) 1 F (t , T1 ) D(t , T1 , T2 ) u (T − t ) 1 w2 = 1 1 F (t , T2 ) D(t , T1 , T2 ) (2.55) It should be noted that using only two contracts makes the hedge very sensitive to these two contracts. If a continuous forward curve F (t , T ) is available, a hedge of f k can be formed using all the contracts if the following conditions are satisfied: τ max ∫ w(τ ) F (t , t + τ )uk (τ )dτ = 1 0 τ max ∫ (2.56) w(τ ) F (t , t + τ )ul (τ )dτ = 0 l ≠ k 0 A solution to this equation is then: w(τ ) = uk (τ ) F (t , t + τ ) 36 (2.57) 3. ASIAN OPTIONS ON COMMODITIES 1. Definitions and markets Most liquid commodity futures traded on exchanges settle on a specific day. For example, Brent futures trading on the InterContinental Exchange settle on the ICE Brent index price on the day following the last trading day of the futures contract. Futures with physical delivery, such as NYMEX WTI futures, do not have cash settlement but the options trading on them settle on their value on a specific day. In the case of freight derivatives the spot indices, published daily by the Baltic Exchange, are not considered liquid enough to be used for derivatives settlement. Given that there are relatively few spot transactions on a particular day, a big market participant might be able to manipulate the market to his favor over a period of a couple of days. To avoid this, the forward contracts settle on the average spot price over a month. This structure can also be found in over-the-counter swaps in other markets, such as crude oil or metals. Given a set of settlement dates T1 . TN (generally the trading days of a given month), the settlement price of the average contract settling on these dates will be FA (TN ; T1 . TN ) = 1 N N ∑ S (T ) k =1 (3.1) k This settlement price is also used for settling Asian options written on the same commodity. For example, the payoff of an Asian call option with strike K settling on the spot fixings on the dates T1 . TN is 1 C (TN , K ; T1 . TN ) = max N N ∑ S (T ) − K , 0 k =1 k (3.2) Asian options are very common in commodities – indeed they first appeared through commodity-linked bonds (Carr et al, 2008). They are popular not only because they avoid the problems of market manipulation as detailed above, but also because they are less expensive than their European counterparts. The Asian options we will consider are arithmetic average options with European exercise. Given a set of fixing dates T1 . TN , the option will pay off at date TN the value 1 C (TN , K ; T1 . TN ) = max N N ∑ S (T ) − K , 0 k k =1 1 P(TN , K ; T1 . TN ) = max K − N 37 ∑ S (Tk ), 0 k =1 (for a call) (3.3) N (for a put) 2. Literature on Asian options The existing literature on Asian options focuses on Asian options written on stock or foreign exchange rates. In this case the main effect of the averaging is in reducing the standard deviation of the payoff function. However, the distribution of the average of log-normal variables is not log-normal, and this is the main obstacle to pricing Asian options using the standard Black-Scholes framework. To tackle this, several techniques have been developed. Monte Carlo simulation can be used, such as in Kemna and Vorst (1990), Haykov (1993) and Joy et al. (1996). A partial differential equation depending on the spot price and the observed average price can be derived and solved numerically: Dewynne and Wilmott (1995) and Rogers and Shi (1995). Geman and Yor (1992) derive a semi-analytical expression for a spot price following geometric Brownian motion. Turnbull and Wakeman (1991) and Levy (1992) derive approximate expressions by matching the moments of a log-normal distribution with the moments of the average price distribution. A closed form expression is derived in Geman and Yor (1992) for a spot price following geometric Brownian motion. Approximate expressions have been obtained by Turnbull and Wakeman (1991) and Levy (1992). Haug (2006) presents these and other approximations for Asian options on futures. Koekebakker, Ådland and Sødal (2007) find an approximate expression for the Asian options trading in shipping, assuming the spot price follows geometric Brownian motion. Koekebakker and Ollmar (2005) use a one-factor forward curve model with time-varying volatility and derive an approximate process for the shipping forward freight agreement. A major issue in using these formulas for commodity futures options is that they assume geometric Brownian motion for the spot price, which is not consistent with a multi-factor model with mean-reverting factors. They also ignore the existence of a forward curve which gives the risk-neutral expectations of the spot price. 3. Approximate formulas under the two-factor model For option pricing we will work in the risk-neutral measure. The two-factor model of the forward curve is, as formulated in Part 2, dF (t , T ) = σ S e−α (T −t ) dWS + σ L dWL , F (t , T ) 38 dWS dWL = ρ dt (3.4) Consider an Asian forward contract FA settling on the average of the daily contracts F (⋅, T1 ). F (⋅, TN ) . The average price contract satisfies: FA (t ) = N 1 N ∑ F (t , T ) k k =1 1 dFA (t ) = N (3.5) N ∑ dF (t , T ) k k =1 where σ k (τ ) = 0 when τ < 0 (the contract has already settled, so its price is fixed). Then N dFA (t ) = FA (t ) ∑σ k =1 −α (Tk − t ) F (t , Tk ) Se N ∑ F (t , T ) N dWS + ∑σ k k =1 k =1 N L F (t , Tk ) ∑ F (t , T ) k =1 dWL (3.6) k Assumption 1: we assume the forward curve to be flat through the settlement period of the Asian contract: F (t , Tk ) = FA (t ) (all the daily contracts have the same price) If we make Assumption 1 then the above equation simplifies to the lognormal evolution dFA (t ) 1 = FA (t ) N N ∑σ k =1 S e−α (Tk −t ) dWS + σ L dWL (3.7) That is, the factor volatilities of FA are the average of the factor volatilities of the individual contracts. Assumption 2: Let us assume that the fixing dates are equally distributed: Tk = TN − ( N − k )h . Denote by c = TN − T1 the contract length. Then for t < T1 (pre-settlement): dFA (t ) σ S e−α (TN −t ) = FA (t ) N = σ S e−α (TN −t ) N −1 ∑ eα k =0 dWS + σ L dWL eα Nh − 1 dWS + σ L dWL N (eα h − 1) α = σ S e−α (TN −t ) kh (3.8) N (TN −T1 ) N −1 −1 e dWS + σ L dWL α (TN −T1 )/( N −1) N (e − 1) Assumption 3: The number of fixing dates N is large enough that N (eα (TN −T1 )/( N −1) − 1) ≈ α c . Then dFA (t ) eα c − 1 ≈ σ S e −α (TN −t ) dWS + σ L dWL αc FA (t ) 39 (3.9) Dynamics inside the settlement period An essential issue of Asian contracts is what happens inside the settlement period. As the contract enters the settlement period, its constituent prices are progressively discovered, and the uncertainty on its price at expiration diminishes. For example, the day before expiration, the only uncertainty is on the last price’s evolution during one day, which only contributes a small part to the average contract price. Furthermore, as part of the contract is priced, our Assumption 1 of a flat term structure F (t , Tk ) = FA (t ) becomes wrong. Indeed on date t , TM ≤ t < TM +1 , the spot prices S (T1 ). S (TM ) have been observed and they will not be equal to FA (t ) . We will therefore consider the observed average A(t ) ' and the adjusted average contract price FA (t ) : A(t ) = 1 M M ∑ S (t ), Tm ≤ t < Tm +1 k k =1 M 1 F (t ) = FA (t ) − A(t ) = N N ' A If we assume a flat term structure ahead, F (t , Tk ) = ' dFA (t ) = 1 N = 1 N (3.10) N ∑ k = M +1 F (t , Tk ) N ' FA (t ) for k ≥ m + 1 then N −M N ∑ k = M +1 dF (t , Tk ) N N FA' (t )(σ S e−α (Tk −t ) dWS +σ L dWL ) N −M k = M +1 ∑ ' dFA (t ) 1 = ' FA (t ) N − M N ∑ k = M +1 (3.11) σ S e−α (T −t ) dWS + σ L dWL k ' The adjusted average contract price FA (t ) has an approximately lognormal evolution with volatilities equal to the average of the volatilities. This, however, is only valid for TM ≤ t < TM +1 and assuming a flat term structure. The exact evolution of FA (t ) from t = T1 to t = TN is complex, and an exact derivation would have to follow the lines of Geman and Yor (1993). We do however get a good idea of the result by assuming that the already settled prices S (Tk ) and the daily forward prices F (t , Tk ) are all equal, in which case the average contract follows the evolution: dFA (t ) 1 = FA (t ) N N 1 N ∑ σ1 (Tk − t ) dW1 + k =1 N ∑σ k =1 2 (Tk − t ) dW2 (3.12) By definition σ k (τ ) = 0 for τ < 0. In that case the average contract still has a lognormal distribution inside the settlement period, but with volatility decaying to 0 as shown in Figure 13. 40 150 1 day 1 month 3 months Vol (%) 100 50 0 0 2 4 6 8 Time to maturity (m) 10 12 Figure 13. Instantaneous volatility of the Asian contract as a function of time to maturity, for different contract lengths We want to quantify this contract’s stochastic evolution until maturity at TN . Consider a date t such that TM +1 ≤ TL ≤ t < TL +1 . Then: ' dFA (t ) σ S e −α (TN −t ) = ' FA (t ) N −M ≈ σ Se −α (TN − t ) N ∑ eα k = L +1 ( N −k ) h dWS + N −L σ L dWL N −M T −t eα (TN −t ) − 1 dWS + N ' σ L dWL ' α cM cM (3.13) (Assumption 3) ' where cM = TN − TM is the residual contract period. Pricing Asian options As discussed previously, in some markets the Asian forward contract/swap is traded in the market, and also settles on the average of the spot: FA (TN ; T1 . TN ) = Therefore we can rewrite the payoff of the option as 41 1 N N ∑ S (T ) k =1 k (3.14) 1 max N N ∑ S (T ) − K , 0 = max ( F (T k =1 k A N , T1 . TN ) − K , 0 ) (3.15) This payoff is a European call option written on the forward contract FA , which simplifies the problem considerably. We will denote by C (t , FA (t , T1 . TN ), K ) (3.16) the price, at time t, of a call option settling on the average of the spot prices at times T1 . TN , with strike K. Similarly P(t , FA (t , T1 . TN ), K ) denotes the price at time t of a put. Put-Call parity: because the options are standard European options written on a swap, put-call parity holds in the form C (t , FA (t ; T1 . TN ), K ) − P(t , FA (t ; T1 . TN ), K ) = B(t , TN )( FA (t ; T1 . TN ) − K ) (3.17) where B(t , TN ) is the discount factor. We will henceforth focus the discussion on calls. Black’s formula under time-dependent volatility We will begin by establishing Black’s (1976) formula for futures options under deterministic time-dependent volatility. We will follow the derivation of Musiela and Rutkowski (2008). Consider a futures process F (t , T ) with time-varying volatility: dF (t , T ) = µ (t , T )dt + σ (t , T )dWt F (t , T ) (3.18) We consider the futures option settling at date T on F (T , T ) with strike K: C (T , F ) = ( F − K ) + (3.19) Consider a self-financing futures strategy φ = ( g ( Ft , t ), h( Ft , t )) . Since the replicating portfolio φ is assumed to be self-financing, the wealth process V (t , F , φ ) , which equals V (t , Ft , φ ) = h( Ft , t ) Bt = C (t , Ft ) (3.20) satisfies dV = g ( Ft , t )dFt + h( Ft , t )dBt = rV (t , Ft )dt + µ (t , T ) Ft g ( Ft , t )dt + σ (t , T ) Ft g ( Ft , t )dWt 42 (3.21) If we assume that the function C is sufficiently smooth, we find by Ito’s lemma that ∂C ∂C 1 2 ∂ 2C ∂C + µ (t , T ) Ft + σ (t , T ) Ft 2 dC (t , Ft ) = dt + σ Ft dWt 2 ∂F 2 ∂F ∂F ∂t (3.22) Equating the values of V and C we find that we must have g ( Ft , t ) = ∂C (t , Ft ) ∂F (3.23) And ∂C 1 2 ∂ 2C + σ (t , T ) F 2 − rC = 0 ∂t 2 ∂F 2 C (T , F ) = ( F − K ) + (3.24) The solution of this partial differential equation is C (t , F (t , T )) = B(t , T ) [ F (t , T ) N (d1 ) − KN (d 2 ) ] (3.25) 1 ln( F (t , T ) / K ) + (T − t )σ Black (t , T ) 2 2 d1 = , d 2 = d1 − σ Black (t , T ) T − t σ Black (t , T ) T − t (3.26) where T 1 2 σ B lack (t , T ) = ∫ σ ( s, T ) ds T −t t 2 (3.27) Hence the formula for a call written on a futures contract with time-varying volatility is the same as Black’s (1976) formula for a futures option, except that the volatility is replaced with the root-mean-square of the instantaneous volatilities during the period. Instantaneous volatilities Let us now calculate the instantaneous volatilities of FA (t ) pre - and in-settlement, based on the stochastic evolution derived in equations (3.9) and (3.13). For t < T1 2 αc −1 −α (TN −t ) e 2 σ A (t , TN ) = σ S e + ρσ L + (1 − ρ 2 )σ L αc and in-settlement, for T1 ≤ t ≤ TN : 43 (3.28) 2 2 1 − e −α (TN −t ) T −t 2 T −t σ (t , TN ) = σ S + ρ N ' σ L + (1 − ρ 2 ) N ' σ L ' α cM cM cM ' A (3.29) Black volatilities Given these instantaneous volatility functions, we can calculate the Black volatility, i. e. the standard deviation of the contract price at expiration: σ Black (t , T ) 2 = T 1 2 σ A ( s, T )ds T∫ t (3.30) In-settlement Consider the case when dates T1 . TM have been priced, such that we are in fact considering the adjusted contract ' FA (t ) = FA (t ) − 1 N M ∑ S (Tk ) = k =1 1 N N ∑ k = M +1 F (t , Tk ) (3.31) In Appendix 6 we show that its Black volatility is: Such that the square of the Black volatility is given by: σ Black (t , T ) 2 = = T 1 2 ∫ σ A (s, T )ds T −t t 2 σS 2 1 − e−α (T −t ) 1 1 − e −2α (T −t ) + 1 − +⋯ ' α 2 cM 2 α T − t 2α T −t 2 ρσ Sσ L T − t e −α (T −t ) 1 1 − e−α (T −t ) + −2 +⋯ ' α cM 2 2 α α T −t (3.32) 1 (T − t ) 2 2 σL ' 3 cM 2 In the case when α c ≪ 1 this simplifies to σ Black (t , T ) ≈ 1 2 2 σ S + 2 ρσ Sσ L + σ L 3 Pre-settlement In Appendix 6 we show that 44 (3.33) 2 σ Black (t , T ) = 1 112 T −T 2 2 σ A ( s, T )ds = ∫ ∫ σ A ( s, T )ds + T − t1 σ Black (T1 , T ) T −t t T −t t T T (3.34) where 2 eα c − 1 e −2α (T −T1 ) − e −2α (T −t ) eα c − 1 e −α (T −T1 ) − e−α (T −t ) 2 σ ( s, T )ds = σ + 2 ρσ Sσ L + (T1 − t )σ L (3.35) ∫ 2α αc α αc t T1 2 A 2 S 2 and σ Black (T1 , T ) is given by equation (3.32). If α c ≪ 1 , 2 σ Black (t , T ) 2 ≈ σ S c 1 − e−2α (T1 −t ) 1 c 1 − e −α (T1 −t ) 1 2c 2 + + 2 ρσ Sσ L + + σ L 1 − (3.36) αc T − t 2α c 3 T −t 3 3 T −t Option price Once the Black volatility is known, pricing futures options is simply a matter of applying the equation (3.26) to the process FA (t , T ) . If the option is pre-settlement, C (t , FA (t , T ), K ) = B (t , T ) [ FA (t , T ) N (d1 ) − KN (d 2 ) ] P(t , FA (t , T ), K ) = B(t , T ) [ KN (−d 2 ) − FA (t , T ) N (−d1 )] (3.37) where 1 log( FA (t , T ) / K ) + (T − t )σ Black (t , T )2 2 , d 2 = d1 − σ Black (t , T ) T − t d1 = σ Black (t , T ) T − t (3.38) If it is in-settlement, introduce the already priced average. A(t ) = 1 M M ∑ S (t ), k =1 k TM ≤ t < TM +1 (3.39) The payoff at expiration can be rewritten as ' ' M t − T1 max ( FA (T ) − K , 0 ) = max FA (T ) − K − A(t ) , 0 ≈ max FA (T ) − K − A(t ) , 0 (3.40) N c ' such that the option can be considered to be written on the log-normal process FA (t ) with an adjusted strike K − A(t ) M / N . If K − A(t ) M / N ≥ 0 . The prices of the options are therefore: 45 t − T1 t − T1 C (t , FA (t , T ), K ) = B(t , T ) FA (t , T ) − A(t ) N (d1 ) − K − A(t ) N (d 2 ) c c t − T1 t − T1 P(t , FA (t , T ), K ) = B(t , T ) K − A(t ) N (−d 2 ) − FA (t , T ) − A(t ) N (−d1 ) c c (3.41) where: t − T1 FA (t , T ) − c A(t ) 1 ' 2 log + (T − t )σ Black (t , T ) t −T 1 2 K− A(t ) c ' d1 = , d 2 = d1 − σ Black (t , T ) T − t ' σ Black (t , T ) T − t (3.42) ' and σ Black (t , T ) is given by equation (3.32). If K − A(t ) M / N < 0 , the average over the contract period will always be larger than the strike, such that the call option will always be exercised and the put option will never be exercised. Thus C (t , FA (t , T ), K ) = B(t , T )( FA (t , T ) − K ) P(t , FA (t , T ), K ) = 0 (3.43) 4. Comparison to other Asian option models and market prices We examine two other Asian option models that are commonly used in the freight options market: the Levy (1992) approximation and the Koekebakker, Adland and Sodal (2007) formula. These models both assume that the spot price follows geometric Brownian motion under the risk-neutral measure: dS (t ) = λ dt + σ dWt S (t ) (3.44) Let Tk = T1 + (k − 1)h be the settlement period dates and define the observed running average A(t ) as in equation (3.10) above. Also let M (t ) = A(TN ) − A(t ) m and N v(t ) = ln E * M (t ) 2 − 2 ln E * [ M (t ) ] 1 m ln E * M (t ) 2 − ln K − A(t ) 2 N d1 = , d 2 = d1 − v(t ) v(t ) 46 (3.45) Then the Levy (1992) approximation is, for Tm ≤ t < Tm +1 , m C ( S (t ), A(t ), t ) = e − rτ E * [ M (t ) ] N (d1 ) − K − A(t ) N (d 2 ) N P( S (t ), A(t ), t ) = e − rτ * m E [ M (t ) ][ N (d1 ) − 1] − K − A(t ) [ N (d 2 ) − 1] N (3.46) Expressions for E *[ M (t )] and E *[ M (t ) 2 ] are given in the appendix of the original article. Koekebakker, Ådland and Sødal (2007) arrive at an option price along the following lines: 1. Assume geometric Brownian motion for the spot under the risk-neutral measure 2. Derive what the average forward price should be, consistent with this spot process FA (t ; T1 . TN ) = 1 N N ∑ Et*[S (Ti )] = St i =1 t ≤ T1 St N λ (T −t ) ∑ei N i = M +1 F ( t, T1,TN ) (3.47) dFA (t ; T1 . TN ) = σ (t )dWt where FA (t ; T1 . TN ) 3. Derive the forward’s approximate evolution: σ σ (t ) = σ eλ (TN −t ) 1 − e− λ N ∆ N 1 − e − λ∆ σ t ≤ T1 ≈ N −M TM < t < TM +1 TM < t < TM +1 σ N (3.48) 4. Use Black (1976) with time-varying volatility to price the option The result is as follows: for t < T1 (pre-settlement) let σ F = σ (T1 − t ) + R( N )(TN − T1 ) R( N ) = 1− 3 1 + 2N 2N 2 3 3− N For t = TM (in settlement) 47 (3.49) (3.50) σ 1 M −1 M σF = (TN − TM ) 1 − N 1 − N + 2 N 3 1/2 (3.51) Then C (t , FA (t ; T1 . TN ), K ) = B(t , TN ) [ FA (t ; T1 . TN ) N (d1 ) − KN (d 2 )] P(t , FA (t ; T1 . TN ), K ) = B(t , TN ) [ KN (−d 2 ) − FA (t ; T1 . TN ) N (−d1 ) ] (3.52) where B(t , TN ) is the discount factor and F (t ; T1 . TN ) 1 2 ln A + σF K 2 d1 = , d 2 = d1 − σ F σF (3.53) We now evaluate option premia based on these models. The volatility inputs to the models are evaluated based on the historical volatilities estimated from time series of prices of shipping futures contracts. We compare these to the option premia quoted by Imarex in their weekly Imarex Freight Options reports for the TD3 route. The main parameters are given in Table 3.. Table 3. Parameters on December 8, 2008 Date December 8, 2008 3-month LIBOR 2.19% Spot price (WS) 91.73 Observed average spot 12/1 – 12/5 (WS) 75.88 The key input to each of the models is the volatility. We use • For Levy and KAS, the historical volatility of the spot, using weekly log returns over the year 2008. This is evaluated to 148.4%. • We calibrate the two-factor forward curve model to the estimated historical covariance matrix for the year 2008. 48 160 Historical Model 140 Parameters: σ S = 172.4% Vol (% annual) 120 σ L = 34.8% 100 α = 3.245 80 ρ = 0.21 60 40 20 0 2 4 6 TTM (m) 8 10 12 Figure 14. Two-factor model fitted to historical volatilities Table 4. Model Call option ATM prices on December 8, 2008 compared to market Contract FFA Imarex Premium ATM Model option premium ATM (WS) Year Period WS WS Levy KAS Two-factor 2008 Dec 81 5.6 4.91 5.45 6.76 2009 Jan 59 8.8 10.69 10.56 11.07 2009 Feb 56 9.2 13.60 13.51 12.87 2009 Mar 46 8.2 13.34 13.28 11.52 2009 Apr 45 8.2 14.98 14.93 11.93 2009 Q2 45 8.5 16.48 16.44 12.27 2009 Q3 44 9.3 19.82 19.79 12.65 2009 Q4 48 11 24.66 24.63 14.18 2010 CAL 78 16.6 48.26 48.23 24.10 The results are listed in Table 4. We note that the Levy and KAS prices are very similar. This is not surprising as they are based on the same model and parameters for the underlying, only with different ways of approximating the option premium. The option premia obtained with the term structure of volatility from Figure 14 are lower than the Levy and KAS premia. This is obvious from Figure 15: the difference between KAS and the present study is the 49 volatility input to the Black formula - σ F and σ Black respectively – which are the root-mean-square of the time-dependent instantaneous volatility σ (t ) . Since the historical volatility of futures with increasing tenors is lower than that of the spot, the call premium from the present study will be lower than the KAS premium. 180 Two-factor KAS & Levy 160 140 Vol (%) 120 100 80 60 40 20 0 0 2 4 6 8 Time to maturity (m) 10 12 Figure 15. Asian volatility term structure for the two-factor model and the KAS & Levy models Comparing these premia to market prices quoted by Imarex, the market prices are lower than the prices obtained from the present model supplied with the historical volatilities – namely the market implies a lower future volatility than the historical volatility over 2008. Yet, 2008 was a particularly volatile year in the freight market, giving a high historical volatility, whereas the market might be expecting 2009 to be calmer. Implied volatilities – calibration of the models to market prices Volatility is the most important parameter of an option pricing formula. Considering that the other parameters are observable, a quoted market price for an option implies a value for this parameter. It is therefore important to be able to back out this parameter from the options premia observed in the market, resulting in the implied volatility. This follows by solving the equation C (t , FA (t , T ), T , K , r , σ ) = Cmarket (t , T , K ) (3.54) for σ or possibly several parameters that enter the definition of σ . Levy (1992) The formula (3.46) has a complicated dependence in σ and a numerical technique must be used to back out the volatility of the spot from the option price. As this is a single parameter, to each option price C (T , K ) 50 there corresponds an implied volatility σ Levy (T , K ) . The volatility of the spot and the options implied volatility are not the same because the market doesn’t follow the assumptions of the model. In particular, there is a term structure of volatility which is not consistent with the geometric Brownian motion model for the spot price. Imarex quotes these implied volatilities in their Freight Options reports. Koekebakker, Adland and Sødal (2007) The formula (3.52) is just Black (1976) with a tweaked volatility input. Extracting implied volatilities from the Black formula is standard, giving rise to σ Black (T , K ) . The implied volatility of the spot is then σ KAS (T , K ) = σ Black (T , K ) T −t g (t , T1 ,… , TN ) (3.55) where, consistently with equations (3.49) and (3.51), T1 − t + R ( N )(TN − T1 ) t < T1 g (t , T1 ,… , TN ) = 1 1 M − 1 M 3 (TN − TM ) 1 − N 1 − N + 2 N T1 ≤ t = TM (3.56) As with the Levy model, different implied volatilities are obtained for each maturity and strike. Two-factor model The input to the Black formula is the time dependent volatility σ A (t , T ) modeled according to (3.28) and (3.29). The parameters in the model need to be estimated from the term structure of options prices. Rebonato (2002) discusses in depth the calibration of the LIBOR market model to traded options in the interest rate markets, and much of his discussion applies here. σ Black (T ) for at-the-money options is first obtained from options market prices, and the parameters of the model are estimated by nonlinear least squares: ∑ σ αρ min σ S, σ L , , Model Black (T , σ S , σ L , α , ρ ) − σ Black (T ) 2 (3.57) T where the summation is over all available liquid option maturities. It should be noted that unlike the Levy and KAS models which estimate one implied volatility per options contract, the present model estimates four parameters from all liquid options prices by a nonlinear least squares technique, which is more parsimonious, but can lead to inaccuracies if the model is not suitable. 51 Note on calibrating a multi-factor model to implied volatilities The two-factor model that we present in this article is intended to reproduce not only the term structure of volatilities but also the correlation surface between the contracts. When pricing vanilla options, however, only the term structure of volatilities matters and the correlations are irrelevant. Thus, when calibrating the four parameters of the model to implied volatilities alone one cannot expect to correctly reproduce the correlation structure. However, considering that we have observed historical estimates of the parameter ρ to be close to 0, a simple solution consists in fixing this parameter to 0 and calibrating σ S , σ L , α to the implied volatility term structure. As long as this produces a good fit, vanilla options will be priced correctly. Results Based on the prices published in the Imarex Freight Options report on Dec 8, 2008, we extract implied parameters for the different models. The results are presented in Table 5. We fit the two-factor model (2.2) to the market prices using the procedure described above, and the result of the optimization is displayed in Figure 16. We can see that the two-factor model gives a very good fit to the option market prices. Figure 16. Black implied volatilities from market quoted options and calibrated two-factor model. Market prices are from the Imarex Freight Options report on December 8, 2008 52 Table 5. Implied volatilities for the different models on December 8, 2008 Contract Imarex Premium Implied volatilities σ Levy (T ) σ KAS (T ) KAS Black σ Black (T ) 165% 169.20% 152.53% 67.96% σS 177.25% 8.8 125% 121.88% 123.32% 97.43% σL 47.68% Feb 9.2 100% 99.60% 100.23% 87.51% α 8.7 2009 Mar 8.2 90% 89.92% 90.31% 81.30% ρ 0 2009 Apr 8.2 80% 79.52% 79.76% 73.86% 2009 May 8.6 75% 74.98% 75.16% 70.79% 2009 Jun 8.7 70% 69.60% 69.74% 66.14% 2009 Jul 8.7 66% 65.98% 66.10% 63.03% 2009 Aug 9.3 66% 66.27% 66.38% 63.76% 2009 Sep 9.8 66% 66.05% 66.14% 63.81% 2009 Oct 10.8 63% 63.44% 63.52% 61.49% 2009 Nov 11.1 62% 62.46% 62.53% 60.70% 2009 Dec 11.5 62% 62.10% 62.16% 60.42% Year Month WS Imarex report 2008 Dec 5.6 2009 Jan 2009 Levy Two-factor 5. Hedging of Asian options Greeks of Asian options When writing options, the seller may be interested in delta-hedging his portfolio with the underlying to construct a delta-neutral position. The question is what position to take in the underlying to hedge the option: the delta. The hedge ratio changes with the price of the underlying, time and volatility and must be adjusted regularly, leading to dynamic hedging strategies. When hedging a number of questions must be addressed: what is the underlying? What instruments are we going to hedge with? The options are written on spot, but in shipping the spot is ton-miles that are not be possible to buy and hold, nor short, since it is a service. In shipping the forward contracts that are trading in the market, the Forward Freight Agreements, settle on the average of the spot, and should therefore be used as hedging instruments. 53 The Greeks follow upon differentiation of the Black formula. Let d1 and d 2 be defined as in Section 3.2, then we have for a call option: ∆= ∂C = e− r (T −t ) N (d1 ) ∂FA Γ= n(d1 ) ∂ 2C = e − r (T − t ) 2 ∂FA FAσ B T − t dC ∂C ∂σ B ∂C Fσ ∂σ = + = rC − e − r (T −t ) A B n(d1 ) + B Vega ∂t ∂t ∂σ B ∂t dt 2 T −t ∂C = FAe− r (T −t ) T − tn(d1 ) Vega = ∂σ B θ= ρ= (3.58) ∂C = −(T − t )C ∂r Because the volatility is time dependent, the theta θ of the option also depends on the temporal variation of the Black volatility: T 2 (T − t )σ B (t , T ) = ∫ σ 2 ( s, T )ds t (3.59) Differentiating this with respect to t and rearranging we get 2 ∂σ B (t , T ) σ B (t , T ) − σ 2 (t , T ) = ∂t 2(T − t )σ B (t , T ) (3.60) which can be calculated using the formulas in Section 3. Delta-hedging an option position When a forward contract with the same settlement period as the Asian option is available, that contract should be used to delta-hedge the option position to avoid basis r isk. The position to be taken in this contract is then given by the previous formula. The position to take in the contract FA (t , T ) to hedge a short call position settling on the same period is ∆ C = e − r (T −t ) N (d1 ) (3.61) In other markets such a contract is not available. In the crude oil market, for example, the futures contracts settle on a single date while Asian options will settle on the trading days within a month. Luckily, these 54 contracts are highly correlated and we can quantify the required number of contracts using the two-factor model. The instantaneous evolution of the call price is dC = ∂C ∂C dt + dFA ∂t ∂FA ( = θ dt + ∆ FA FA (t , T ) σ (t , T )dWS + σ (t , T )dWL A S A L ) (3.62) ' Where FA (t , T ) = FA (t ; T1 . TN ) pre-settlement and FA (t , T ) = FA (t ; TM +1 . TN ) in-settlement, and eα c − 1 σ S e −α (T −t ) t < T1 αc A σ S (t , T ) = α ( T −t ) −1 σ e −α (T −t ) e TM ≤ t < TM +1 S ' α cM t < T1 σL A σ L (t , T ) = T − t c ' σ L TM ≤ t < TM +1 M (3.63) A daily contract settling on the date T has the stochastic evolution dF (t , T ) = σ S e−α (T −t ) dWS + σ L dWL F (t , T ) (3.64) We can use two of these contracts to hedge the call. Assume we take a position w1 in contract F (t , T1 ) and w2 in contract F (t , T2 ) , then the hedge of a short call must satisfy: w1 F (t , T1 )σ S e −α (T1 −t ) + w2 F (t , T2 )σ S e−α (T2 −t ) = ∆ FA FA (t , T )σ SA (t , T ) A ( w1 F (t , T1 ) + w2 F (t , T2 ))σ L = ∆ FA FA (t , T )σ L (t , T ) (3.65) which yields A σ SA (t , T ) σ L (t , T ) −α (T −t ) − e σL FA (t , T ) σ S 2 w1 = ∆ FA F (t , T1 ) e −α (T1 −t ) − e −α (T2 −t ) A σ SA (t , T ) σ L (t , T ) −α (T −t ) − e σL FA (t , T ) σ S 1 w2 = ∆ FA F (t , T2 ) e −α (T2 −t ) − e−α (T1 −t ) 55 (3.66) 6. Dependence of the Asian option price on the parameters Carr, Ewald and Xiao (2008) establish that in the Black-Scholes framework, the premium of an arithmetic average Asian call option written on stock increases with volatility. They also show that this is not a trivial result and does not hold outside the Black-Scholes assumption, for example using a binomial model. In the model presented here there is not a single volatility parameter but four parameters governing the term structure of volatility. We will study the dependence of the option premium on these four parameters. This has an important impact on option risk management, given that the implied term structure of volatility can change stochastically over time, thereby affecting prices. The dependence of the option premium on the volatility parameters is through σ Black , therefore we can write ∂C ∂C ∂σ B = , ∂σ S ∂σ B ∂σ S ∂C ∂C ∂σ B = . ∂σ L ∂σ B ∂σ L (3.67) We calculate the sensitivity of the Black volatility on the four parameters, in the simplified case when α c ≪ 1 . In-settlement, for TM ≤ t < TM +1 , σ B (t , T ) ≈ ∂σ B σ S + ρσ L = , ∂σ S 3σ B 1 2 2 σ S + 2 ρσ Sσ L + σ L 3 ∂σ B σ L + ρσ S = , ∂σ L 3σ B ∂σ B = 0, ∂α (3.68) ∂σ B σ Sσ L = ∂ρ 3σ B (3.69) And pre-settlement, t < T1 , 2 σ B (t , T ) 2 ≈ σ S c 1 − e −2α (T1 −t ) 1 c 1 − e−α (T1 −t ) 1 2c 2 + + 2 ρσ Sσ L + + σ L 1 − (3.70) T − t 2α c T −t 3 3 αc 3 T −t ∂σ B σ S c 1 − e−2α (T1 −t ) 1 ρσ L c 1 − e−α (T1 −t ) 1 = + + + ∂σ S σ B T − t 2α c 3 σB T −t 3 αc ∂σ B ρσ S c 1 − e−α (T1 −t ) 1 σ L T1 − t 1 = + + + ∂σ L 3 σ B c 3 σ B T − t αc T1 − t 1 −2α (T1 −t ) T − t 1 ∂σ B σ S c = + e − 1 + ρσ L 1 + e−α (T1 −t ) − 1 σ S ∂α σ B 2α (T − t ) c 2 2 c ∂σ B σ Sσ L c 1 − e−α (T1 −t ) 1 = + ∂ρ 3 σ B T − t αc 56 (3.71) Let us examine the sign of these quantities. In-settlement, we have, on the condition that σ S , ρ , σ L ≥ 0 , all the derivatives are non-negative. For the pre-settlement values, ∂σ B c σS ρσ L = g (2α ) + g (α ) ∂σ S T − t σ B σB ( (3.72) ) where g (α ) = 1 − e −α (T1 −t ) / (α c ) + 1/ 3 is decreasing in α , such that σ + ρσ L ∂σ B c ≥ ≥0 g (2α ) S ∂σ S T − t σB (3.73) ρσ S + σ L ∂σ B c ρσ S c σ = g (α ) + L g (0) ≥ g (α ) ≥0 ∂σ S T − t σ B σB σB T −t (3.74) For σ L , For α we can see that σ Black (t , T )2 is decreasing with α . The Black volatility is increasing in ρ without any conditions on the volatilities. Hence we have proven that, if we assume σ S ≥ 0, ρ ≥ 0, σ L ≥ 0 , the Black volatility and the call option premium are increasing in the parameters σ S , σ L and ρ , and decreasing in α . 57 4. THE FLOATING STORAGE TRADE 1. Introduction After the collapse of oil and shipping prices in mid 2008, floating storage, i. e. storing crude oil or products in idle tankers, became a viable opportunity. This was made possible by a steep contango of the crude oil forward curve combined with low freight rates. This is only one example of what international oil trading consists of: if a price difference – in time or space – is higher than the shipping and capital cost involved, then there is an arbitrage opportunity that can be exploited. Two very basic examples are: • Shipping crude oil from Nigeria to the US • Storing crude oil in storage tanks in Cushing, OK when the WTI forward curve is in contango. Often several opportunities present themselves to an oil trader, and the volatility of the associated forward curves makes it possible that these opportunities could evolve during the voyage. For example, a ship leaving Nigeria with crude oil has the option of going either to the United States or to Europe, and the trader doesn’t necessarily have to make that choice immediately – he can choose to stay on a northward course in the midAtlantic and defer the choice of destination port to a later date, when one option will be significantly more interesting than the other. The ship can also choose to speed up or slow down to control its fuel consumption and arrive at an optimal date. When choosing to keep his options open, the oil trader is exposed to movements in the forward curves. The existence of liquid futures and options markets at several key locations makes it possible to hedge this exposure partly, thereby reducing risks. Our aim is to create a framework for analyzing such trading strategies and derive the optimal route that a ship should follow. This framework can then be used to evaluate expected return and risk beforehand, to find the optimal route that the ship should follow, and to derive hedge ratios to hedge the exposure to the dominant risk factors. We will concentrate on a simple problem: the cross Atlantic crude oil arbitrage with possibility of floating storage, and present the results for this. We will then proceed to generalize the framework to a general optimal trading problem. 2. The floating storage problem We consider a ship at location X at time t. The characteristics of the ship and the shipping route are given in Table 6. The problem we are considering is as follows: 1. At date t = 0 the decision is made to load the tanker with a cargo at the spot price S0 58 2. The cargo is loaded at date τload. 3. The ship then sails at the constant speed u to the destination port. 4. Upon arrival, and until the date when the cargo is actually delivered, the ship is anchored at the destination port X Xp At destination Waiting for cargo to load Sailing, speed u X0 τ load τ load + d(X0, X p ) u Buy cargo, price S0 t τ* : deliver cargo at delivery port The daily cost paid for the shipping is then, at date t, t ≤ τ load 0 g (t ) = H + B ⋅ FC (u ) τ load ≤ t ≤ τ load + d ( X 0 , X P ) / u H + B ⋅ FC t ≥ τ load + d ( X 0 , X P ) / u a (4.1) The cargo is not necessarily sold into the market immediately. At any location X and time t the decision can be made to sell the cargo for delivery τ days forward, at the price F (t, τ ) . Exercise profit We define the exercise profit Ω(t , F (τ )) as the profit that can be earned on the cargo if the ship is at location X(t) and the forward curve is F (τ ) , by committing to a specific delivery price sometime in the future and sailing to deliver at that time. In effect, the trader gives up the possibility of changing delivery time. At exercise, one chooses a time-to-delivery τ . For one choice of this parameter the profit is τ sail = d ( X (t ), X P ) / u ω (τ ) = F (τ ) − S0 − Hτ − B ⋅ ( FC (u )τ sail + FCa (τ − τ sail )) − BH , τ ≥ τ sail Forward price ($/bbl) Loaded spot price ($/bbl) Cost of backhaul trip ($/bbl) Bunker price ($/mt) Fuel consumption (mt/day/bbl) Ship timecharter ($/bbl/day) 59 (4.2) The exercise profit consists in maximizing ω over all possible times-to-maturity: Ω(t , F (τ )) = max ω (τ ) (4.3) τ ≥τ sail Table 6. Ship and route parameters Unit Typical value Unit Location X Nm Ship1 Time t days Type Typical value Very Large Crude Carrier (VLCC) Cargo size Distance d Cargo DWT mt 300 000 mt 4535 Nm Speed u knots 15 knots Brent Nm 270 000 mt Sullom Voe – LOOP Route mt Fuel consumption sailing: FC(u) mt/day 87.5 mt/day (laden) 74 mt/day (ballast) 85 mt/day (pumping) 15 mt/day (anchor) anchor: FCa mt/day Barrel factor bbl/mt 7.578 bbl/mt Timecharter price H USD/day Loading port X0 Sullom Voe Delivery port XP VLCC average timecharter equivalent (Baltic Exchange) LOOP Loading price S0 USD/bbl Dated Brent 10-21 days Delivery price F(t, τ) USD/bbl LLS forward curve Loading delay τload Days 15 days IFO price B USD/mt Fuel Oil 3.5% CIF NWE (Platts) It should be noted that if the location of the ship X is the loading port, then Ω is the arbitrage profit from that port and if it is positive, the arbitrage is said to be open. Furthermore, if the loading and destination ports are the same and Ω is positive, then there is a floating storage opportunity at that port and Ω is the profit that can be made from it. This profit is also riskless – at least market-wise – considering that the profit is locked in by selling the cargo forward. Valuing the expected profit of the voyage When the tanker is loaded, the arbitrage profit Ω can be locked in without risk. However, the large number of optionalities available to the trader throughout the voyage means that the expected profit is sometimes higher. 1 Typical values correspond to the modern double-hull VLCC from Clarksons (2009) 60 Let us define V (t , F (τ )) as the expected profit from the cargo when the tanker is at the location X (t ) and the forward curve is given by F (τ ) . This is a real option value as detailed in Dixit and Pindyck (1994). When the ship is at a location X (t ) , and the maximum exposure time T has not been exceeded, the trader has two choices: • either “exercise” and sell the cargo forward, thereby earning the exercise profit Ω(t , F (τ )) • or choose to continue speculating during a time dt without exercising. The expected profit is: VC (t , F (τ )) = EF (τ ) [V (t + dt , F (τ ) + dF (τ )) ] − g (t )dt (4.4) This gives the continuation value VC . The forward curves are evolved during the time period dt using the two-factor model from Part 2. Hence the expected profit at location X (t ) given the forward curve F (τ ) is V (t , F (τ )) = max [ Ω(t , F (τ )), VC (t , F (τ ))] (4.5) We notice that we always have V ≥ Ω because the possibility of obtaining Ω is included in V. If the maximal exposure time t = T is reached, the cargo must be sold and V (t , F (τ )) = Ω(t , F (τ )) . This value function V contains all the information needed to evaluate and run the physical trade: • the value V (0, F0 (τ )) is the expected profit from following the optimal trading strategy • the a priori risk of the strategy and its exposure to the principal risk factors can be evaluated through V, as seen in Section 3.5. • at a date t, given the forward curve F (τ ) , compare the exercise value Ω(t , F (τ )) and the continuation value VC (t , F (τ )) . o If Ω ≥ VC then the delivery of the cargo should be specified. The optimal date at which to deliver it is obtained from the calculation of Ω o If VC > Ω then the ship should continue sailing or anchoring without specifying when delivery will take place. Simplification in the case of a two-factor model If the dynamics of the forward curve are described by a simple two-factor model as described in Part 2, the forward curve F (τ ) can be expressed in terms of the factor values f1 and f 2 and the initial forward curve F0 (τ ) : log Ft (τ ) = log F0 (t + τ ) +ψ (t, τ ) + u1 (τ ) f1 (t ) + u2 (τ ) f 2 (t ) 61 (4.6) Therefore the functions Ω and V only depend on the values of f1 , f 2 and time t since the beginning of the trade: Ω(t , F (τ )) = Ω(t , f1 , f 2 ) V (t , F (τ )) = V (t , f1 , f 2 ) (4.7) Optimal stopping formulation Determining V can alternatively be seen as an optimal stopping problem. The value function can equivalently be written as τ V (t , f1 , f 2 ) = max E − ∫ g ( s )ds + Ω(τ , f1 (τ ), f 2 (τ )) | f1 (t ) = f1 , f 2 (t ) = f 2 τ ∈ST[ t, T ] t (4.8) where ST[ t, T ] is the set of all stopping times in [t , T ] . The optimal stopping time corresponds to the time when V becomes equal Ω , i. e. τ * = min (4.9) and the initial expected profit from the trade is τ V = E − ∫ g ( s )ds + Ω(τ * , f1 , f 2 ) 0 * (4.10) 3. Solution methods Solving an optimal stopping problem such as the one that has been formulated for the floating storage trade is akin to calculating the value of an American option. A number of numerical methods have been suggested to this effect and we will review some of them here. Dynamic programming The conceptually simplest method of solving an American option problem is by dynamic programming. Discretizing time into dates t0 = 0, t1 . t N = T , the value at date ti can be written as 62 V (t N , f1 , f 2 ) = Ω(t N , f1 , f 2 ) VC (ti , f1 , f 2 ) = E [V (ti +1 , f1 + ∆f1 , f 2 + ∆f 2 ) ] − g (ti )∆t (4.11) V (ti , f1 , f 2 ) = max [ Ω(ti , f1 , f 2 ), VC (ti , f1 , f 2 )] The expectation in the calculation of VC (ti , f1 , f 2 ) is calculated using the transition probabilities of f1 and f 2 . When a binomial distribution is assumed this yields the binomial tree method for American options, as detailed in Clewlow and Strickland (1998). Using the two-factor model presented here we can evaluate it using transition probabilities. 1 2 The factor value space is discretized into a N1 × N 2 rectangular grid: ( f11 . f N1 ) × ( f12 . f N2 ) . The expectation is evaluated numerically using the previously calculated values of V (t j +1 , f k1 , f l 2 ) and the joint probability density of (df 1 , df 2 ) : 1 E f 1 , f 2 V (t j +1 , f k1 + df 1 , fl 2 + df 2 ) ≈ NF kl pk 'l ' = N1 N 2 ∑∑ p k '=1 l ' =1 V (t j +1 , f k1' , f l 2 ) ' k 'l ' ( f − f − ( µ1 − α1 f k1 )∆t ) 2 ( f l 2 − f l 2 − ( µ 2 − α 2 f l 2 )∆t ) 2 exp − −' 2 2πσ 1σ 2 ∆t 2σ 12 ∆t 2σ 2 ∆t 1 k' 1 1 k (4.12) NF = ∑ pk 'l ' k ',l ' Partial Differential Equation In continuous time, the dynamic programming formulation for V combined with Ito’s formula yields a partial differential equation for V . Let us assume that VC > Ω , i. e. we are in the continuation region, such that V = VC . We develop V using Ito’s formula: V (t + dt , f1 + df1 , f 2 + df 2 ) = V + ∂V ∂V ∂V 1 ∂ 2V dt + df1 + df 2 + ∑ dfi df j ∂t ∂f1 ∂f 2 2 1≤i , j ≤ 2 ∂fi ∂f j ∂V ∂V ∂V 1 2 ∂ 2V 1 2 ∂ 2V (4.13) =V + + ( µ1 − α1 f1 ) + (µ2 − α 2 f 2 ) + σ1 + σ 2 2 dt ∂f1 ∂f 2 2 ∂f12 2 ∂f 2 ∂t ∂V ∂V + σ 1dW1 + σ 2 dW2 ∂f1 ∂f 2 Using the definition of V and VC we find that V (t , f1 , f 2 ) = VC (t , f1 , f 2 ) = E [V (t + dt , f1 + df1 , f 2 + df 2 )] − g (t )dt 63 (4.14) ∂V ∂V ∂V 1 2 ∂ 2V 1 2 ∂ 2V + ( µ1 − α1 f1 ) + (µ2 − α 2 f 2 ) + σ1 + σ 2 2 = g (t ) ∂t ∂f1 ∂f 2 2 ∂f12 2 ∂f 2 (4.15) This is valid for (t , f1 , f 2 ) in the continuation region such that V (t , f1 , f 2 ) > Ω(t , f1 , f 2 ) . For (t , f1 , f 2 ) in the exercise region we have V (t , f1 , f 2 ) = Ω(t , f1 , f 2 ) . If we define S * (t ) as the continuation region at time t, this entails the following boundary conditions on V V (t , f1 , f 2 ) = Ω(t , f1 , f 2 ), ∀( f1 , f 2 ) ∈ ∂S * (t ) (continuity) ∇V (t , f1 , f 2 ) = ∇Ω(t , f1 , f 2 ), ∀( f1 , f 2 ) ∈ ∂S * (t ) (smooth pasting) (4.16) Using these equations for V we can calculate V using finite differences or a semi-analytical formulation. Semi-analytical solution Following Albanese and Campolieti (2006), the partial differential equation for V can be solved in closed form if we assume the boundary of the continuation region to be known. In Appendix 7 we show that the solution of (4.15) can be written as T V (t , f ) = ∫ p( f ', T ; f , t )(Ω(T , f ') − G (t , T ))df ' + ∫ ∫ ℝ2 p ( f ', s; f , t )(−ψ ( s, f '))df ' ds t ℝ2 \ S * ( s ) (4.17) = Veur (t , f ) + Vearly (t , f ) where T is the maximum exposure time, and 0 f ∈ S * (τ ) ψ (t , f ) = ∂Ω + LΩ f ∉ S * (τ ) ∂τ ∂Ω ∂Ω 1 2 ∂ 2 Ω 1 2 ∂ 2 Ω L Ω = ( µ1 − α1 f1 ) + ( µ2 − α 2 f 2 ) + σ1 + σ2 − g (t ) ∂f1 ∂f 2 2 ∂f12 2 ∂f 22 (4.18) The continuation region S * (t ) is defined as S * (t ) = (4.19) The boundary ∂S * (t ) of this domain has to be determined for each date t. We write it as a function of the second factor ∂S * (t ) = ( f1* (t , f 2 ), f 2 ), f 2 ∈ ℝ 64 (4.20) such that the equation to be solved by f1* (t , f 2 ) is V (t , f1* (τ , f 2 ), f 2 ) = ∫ p( f , f , T ; f ' 1 ' 2 * 1 (t , f 2 ), f 2 , t )(Ω(T , f ') − G (t , T ))df ' ℝ2 T +∞ +∫ +∞ ∫∫ p1 ( f1' , f 2' , s; f1* (t , f 2 ), f 2 , t )(−ψ ( s, f '))df ' ds (4.21) t −∞ f1* ( s , f 2 ) = Ω(t , f1* (t , f 2 ), f 2 ) In Appendix 7 we detail the numerical procedure used to find this exercise boundary, which can be found recursively beginning at t = T . Monte Carlo simulation methods The methods discussed above, while suitable for a two-factor model, become impractical if the number of factors is higher, for example if several ports are being considered. In this case a Monte Carlo method should be employed. Monte Carlo methods are not ideally suited to American option problems, because of their backward-recursion properties. However, Longstaff and Schwartz (2001) suggest a least-squares Monte Carlo method with projection of the value function onto a small basis, allowing for efficient pricing of American options. A similar method could be employed in this case. 4. Analytical properties of the solution We will examine some of the properties of the expected profit function V using the analytical expression obtained above. We will decompose the solution as follows: V (0, f ) = ∫ ℝ T p ( f ', T ; f , 0)(Ω(T , f ') − G (0, T ))df ' + ∫ 2 ∫ 2 p ( f ', s; f , 0)(−ψ ( s, f '))df ' ds * 0 ℝ \S (s) (4.22) = Ω(0, f ) + EPdrift + EPconvexity + EPearly where the excess profit components EPdrift , EPconvexity and EPearly are defined as EPdrift = Ω(T , Ef1 (T ), Ef 2 (T )) − G (T ) − Ω(0, f1 , f 2 ) EPconvexity = Veur (T , f1 , f 2 ) − (Ω(T , Ef1 (T ), Ef 2 (T )) − G (T )) EPearly = Vearly (T , f1 , f 2 ) 65 (4.23) Model parameter dependence We want to examine the dependence of the value function on the model parameters α k , σ k and µ k . Let us consider first the drift component EPdrift . Its value does not depend on the volatilities of the factors. Remembering that Ef k (T ) = f k e−α k T + µk (1 − e−α T ) αk (4.24) k we can derive its dependence on the drift and on the model parameters: ∂EPdrift 1 − e−α k T ∂Ω = (T , Ef1 (T ), Ef 2 (T )) ∂µ k α k ∂f k ∂EPdrift ∂Ef k (T ) ∂Ω = (T , Ef1 (T ), Ef 2 (T )) ∂α k ∂α k ∂f k (4.25) ∂EPdrift =0 ∂σ k The convexity component can be written as ∫ p( f ', T ; f , 0)(Ω(T , f ') − Ω(T , Ef (T ), Ef EPconvexity = 1 ℝ ∫ p( f = ' 1 (T )))df ' ( ) − Ef1 (T ), f 2' − Ef 2 (T )) Ω(T , f1' , f 2' ) − Ω(T , Ef1 (T ), Ef 2 (T )) df ' ℝ2 ∫ p( f , f ) ( Ω(T , Ef (T ) + f , Ef = 2 2 ' 1 ' 2 1 ' 1 2 (4.26) ) (T ) + f 2' ) − Ω(T , Ef1 (T ), Ef 2 (T )) df ' ℝ2 (in the last line we change variables from f ' to f ' + Ef (T ) ). We want to show that this convexity premium does not depend on the expected value of the factors. ∂EPconvexity ∂Ef k = This term is zero if ∫ p( f , f ' 1 ℝ2 ' 2 ∂Ω ∂Ω ) (T , Ef1 (T ) + f1' , Ef 2 (T ) + f 2' ) − (T , Ef1 (T ), Ef 2 (T )) df ' (4.27) ∂f k ∂f k is at most quadratic in the factors. In the general case we can write ∂Ω ∂Ω ∂Ω '2 ( Ef + f ' ) − ( Ef ) = f '⋅∇ + O( f ) ∂f k ∂f k ∂f k such that: 66 (4.28) ∂EPconvexity ∂Ef k −α 2T 1 − e −α1T 2 1− e ≤ C ∫ p ( f1' , f 2' )( f1'2 + f 2'2 )df ' = C σ 12 +σ2 α1 α2 ℝ2 (4.29) For sufficiently small values of T this term is small, of the order O (σ 12T ) . Hence we have established that the excess profits coming from convexity are indeed independent of the expected values of the factors, and therefore also of the drifts. Early exercise in a backwardated market As we will see in Section 4.6, it is generally optimal to sell the cargo immediately when the forward curve net of freight is in backwardation. We will show this result here. We assume that the loading and delivery port are the same, such that the trade is purely a floating storage trade. The forward curve net of freight is in net backwardation if F0 (τ ) − ( H + FCa )τ < F0 (0) (4.30) In this case it is optimal to sell the cargo spot, such that t Ω(t ) − ∫ g ( s )ds − Ω(0) = F0 (t ) − ( H + FCa )t − F0 (0) < 0 (4.31) 0 The initial expected excess profit is, as seen in equation (4.10), τ V (0, 0, 0) = E − ∫ g ( s )ds + Ω(τ * , f1 , f 2 ) 0 * (4.32) such that ( ) V − Ω = E F0 (τ * ) − ( H + FCa )τ * − F0 (0) + E F0 (τ * ) exp(u1 (0) f1 (τ * ) + u2 (0) f 2 (τ * )) − 1 (4.33) Conditional on τ * = τ (independent of the values of f1 and f 2 , we then find that given the distributions of f1 (τ ) and f 2 (τ ) , ( ) E F0 (τ * ) exp(u1 (0) f1 (τ * ) + u2 (0) f 2 (τ * )) − 1 = * * 2 u (0) 2 σ 12 (1 − e −α1τ ) u2 (0) 2 σ 2 (1 − e −α 2τ ) F0 (τ * ) exp u1 (0) E[ f1 (τ * )] + u2 (0) E[ f 2 (τ * )] + 1 + − 1 2α1 2α 2 We now introduce the initial slope of the curve a = ∂F0 ∂τ 67 (4.34) and consider only small values of τ * , then: τ =0 a−g 1 2 V − Ω = F0 (0) + u1 (0) µ1 + u2 (0) µ 2 + (u1 (0)2 σ 12 + u2 (0)σ 2 ) τ * + O(τ *2 ) 2 F0 (0) (4.35) a−g 1 2 + u1 (0) µ1 + u2 (0) µ 2 + (u1 (0) 2 σ 12 + u2 (0)σ 2 ) < 0 F0 (0) 2 (4.36) Hence, if there is no value to exercising later, such that V = Ω . The other parameters being fixed, this can always be achieved for a strong enough net backwardation. 5. Profit and risk The calculation of the functions V and defines a physical trading strategy that can be applied in practice. In order to assess how interesting this strategy is, we would like to assess a priori its expected return and risk. Furthermore we would like to assess the dependence of the profits on the different risk factors, to define a financial hedging strategy using futures or options. Expected and realized profit on the trading strategy As discussed above, the values V (t = 0, f1 = 0, f 2 = 0) and Ω(t = 0, f1 = 0, f 2 = 0) are respectively the expected profit and arbitrage profit that can be obtained on the initial date. These numbers are expressed in US dollars per barrel ($/bbl) for crude oil or US dollars per gallon ($/gal) for gasoil. When the trading strategy is executed the realized profit is not necessarily equal to the expected profit, given that the distribution of forward curves is stochastic. The realized profit of the trip is, in the simple case of a single port, t* W = ∫ − g (t )dt + Ω(t * , f1 (t * ), f 2 (t * )) (4.37) 0 where t * is the exercise date. This can be calculated a posteriori to get the realized profit. But seen at t = 0 this is a random variable with a certain distribution. Its expected value is V: V (t = 0, f10 , f 20 ) = E W (τ * , f1 (τ * ), f 2 (τ * )) | f1 (t = 0) = f10 , f 2 (t = 0) = f 20 (4.38) where τ * is the optimal stopping time, which is a random variable depending on the realized values of f1 and f 2 . Expected risk and Sharpe ratio There is no market risk tied to the arbitrage profit Ω, because the cargo is sold forward and the profit is fixed at the moment the decision is taken. However there is financial risk tied to the physical trading strategy with 68 expected profit V: the forward curves will change before the decision to deliver the cargo is taken. This risk is reflected in the distribution of the realized profit W. We have seen that this distribution is centered on V: V (t = 0, f10 , f 20 ) = E W (τ * , f1 (τ * ), f 2 (τ * )) | f1 (t = 0) = f10 , f 2 (t = 0) = f 20 (4.39) Furthermore, at exercise, t* t* W (t , f1 , f 2 ) = ∫ − g (t )dt + Ω(t , f1 , f 2 ) = ∫ − g (t )dt + V (t * , f1 , f 2 ) * * 0 (4.40) 0 We define the process U representing the expected profit and loss (P&L) on the trade at time t by t U (t , f1 , f 2 ) = ∫ − g ( s )ds + V (t , f1 , f 2 ) (4.41) 0 The value of this process at exercise equals W, the realized P&L of the trade. To find its distribution we differentiate U using Ito’s formula: ∂V ∂V ∂V 1 2 ∂ 2V 1 2 ∂ 2V ∂V ∂V dU = − g (t ) + + ( µ1 − α1 f1 ) + (µ2 − α 2 f 2 ) + σ1 + σ 2 2 dt + σ 1dW1 + σ 2 dW2 2 ∂t ∂f1 ∂f 2 2 ∂f1 ∂f 2 ∂f1 ∂f 2 2 (4.42) ∂U ∂U σ 1dW1 + σ 2 dW2 = ∂f1 ∂f 2 We find that the process U has zero drift. This reflects the fact that V was correctly priced initially. The instantaneous volatility of U over a time period dt is 1/2 ∂U 2 ∂U 2 σ U = σ 1 + σ 2 ∂f1 ∂f 2 ( = σ 1 ∆1 )( 2 ) 1/2 2 + σ 2 ∆2 (4.43) where ∆k = ∂V ∂f k (4.44) is the delta of the value function with respect to factor k. Furthermore, the distribution of U given the stopping time τ * is τ* τ* ∂U ∂U U (τ , f1 , f 2 ) = U (0, f , f ) + ∫ (t , f1 (t ), f 2 (t ))σ 1dW1 (t ) + ∫ (t , f1 (t ), f 2 (t ))σ 2 dW2 (t ) (4.45) ∂f1 ∂f 2 0 0 * 0 1 0 2 We can calculate the first moments of U: 69 E[U (τ * , f1 , f 2 )] = U (0, f10 , f 20 ) = V (0, f10 , f 20 ) (4.46) 2 2 τ * ∂V τ * ∂V 2 U (τ , f1 , f 2 ) = σ E ∫ Var (t , f1 (t ), f 2 (t )) dt + σ 2 E ∫ (t , f1 (t ), f 2 (t )) dt (4.47) 0 ∂f1 0 ∂f 2 * 2 1 The variance depends on the stopping time and can best be evaluated through Monte Carlo simulation, simulating the paths of ( f1 , f 2 ) and using the value function already calculated. If we make the simplifying assumption that the deltas of the value function are constant, the variance can be approximated as: ( ) 2 2 Var[W ] = Var U (τ * , f1 , f 2 ) ≈ σ 12 ∆1 + σ 2 ∆ 2 E[τ * ] 2 (4.48) Alternatively, the complete distribution of W can be evaluated using Monte Carlo simulation. It should be noted that this Monte Carlo simulation is simpler than the least squares Monte Carlo technique used for finding the optimal stopping time. If we know the expected profit and the standard deviation of the realized profit, we can calculate the annualized Sharpe ratio of the strategy a priori: Expected profit Std. deviation 1 V = 1/ 2 * 2 2 E[τ * ]1/ 2 τ ∂V τ * ∂V 2 σ 12 E ∫ (t , f1 (t ), f 2 (t )) dt + σ 2 E ∫ (t , f1 (t ), f 2 (t )) dt 0 ∂f1 0 ∂f 2 V ≈ 1/ 2 2 2 σ 12 ∆1 + σ 2 ∆ 2 E[τ * ] 2 SR = ( (4.49) ) 6. Results Arbitrage results In this section we present the results from the calculation of the function Ω at different dates. This function, evaluated at trade initiation time (t = 0), gives the arbitrage profit that can be obtained from the shape of the forward curve at the current date. By studying its dependence on the factor values f1 and f 2 , we can also evaluate its dependence on the level and slope of the curve. 70 20 A rb profit (Ω ) Spread Freight cost 15 $/bbl 10 5 0 -5 06/07/07 09/15/07 12/24/07 04/02/08 07/11/08 10/19/08 Date 01/27/09 05/07/09 08/15/09 11/23/09 Figure 17. Arbitrage profit per barrel on the Sullom Voe-LOOP route 250 Time to delivery (days) 200 150 100 50 0 06/07/07 09/15/07 12/24/07 04/02/08 07/11/08 10/19/08 Date 01/27/09 05/07/09 08/15/09 11/23/09 Figure 18. Time to delivery for static arbitrage on the Sullom Voe – LOOP route 71 160 BFOE Sullom Voe spot LLS LOOP spot 140 Price ($/bbl) 120 100 80 60 40 20 06/07/07 09/15/07 12/24/07 04/02/08 07/11/08 10/19/08 01/27/09 05/07/09 08/15/09 11/23/09 Figure 19. Spot prices of BFOE Sullom Voe (blue) and LLS LOOP (green) 10 LLS LOOP forward curve slope Slope ($/bbl/month) 5 0 -5 -10 -15 06/07/07 09/15/07 12/24/07 04/02/08 07/11/08 10/19/08 01/27/09 05/07/09 08/15/09 11/23/09 Figure 20. Slope of the LLS forward curve, in US Dollars per barrel per month, measured on the front two month contracts 72 On each day in the sample period (August 2007 to October 2009) we calculate the arbitrage profit Ω that can be obtained from the observed forward curve and freight prices on that date. The arbitrage profit is calculated as Ω = max ω (τ ) where τ ≥τ sail τ sail = d ( X 0 , X P ) / u ω (τ ) = F (τ ) − S0 − Hτ − B ⋅ ( FC (u )τ sail + FCa (τ − τ sail )) − BH , τ ≥ τ sail (4.50) The arbitrage profit is obtained by buying BFOE crude at Sullom Voe on the trade initiation date and delivering it into LOOP in the optimal time τ * , sailing at speed u to get there, and anchoring up for a time τ − τ sail to wait for delivery. The cargo is bought at the spot price S0 and sold forward at the price F (τ * ) . We decompose this arbitrage profit into a geographical spread Sp(τ ) = F (τ ) − S0 and a freight cost Fc , Fc(τ ) = Hτ + B ⋅ ( FC (u )τ sail + FCa (τ − τ sail )) + BH (4.51) The physical arbitrage is said to be open when Ω > 0 , i. e. Sp(τ * ) > Fc(τ * ) : the spread that can be earned on the crude oil is higher than the cost of transportation and storage. In the opposite case it is said to be closed. When the arbitrage window is open it is profitable to ship a cargo of oil on the considered route. We present the results for the Sullom Voe-LOOP route in Figure 17. The geographical spread is shown in green, the freight cost in red, and the net arbitrage profit Ω in blue. We observe that the arbitrage window is open during large parts of the time period under consideration. In Figure 18 we show the value of τ * , the time between the current date and the optimal date to exercise the option of delivering the cargo. We observe that the large profits from late 2008 and early 2009 came from the large opportunities in floating storage created by a steep contango and low timecharter rates. In Figure 19 we show the spot prices of crude oil at the loading and delivery ports. In Figure 20 we show the slope of the forward curve at the delivery port. Figure 19 confirms what makes this physical arbitrage possible: the spread in spot prices between European and American crude. However, the arbitrage profits seem to be uncorrelated with the general level of crude prices. This stems from the fact that international crude prices largely move together, partly because of such arbitrage activity. There does, however, seem to be some relation between the forward curve slope and the arbitrage profit. This is witnessed in Figure 21 where we regress the arbitrage profit on the forward curve slope. The relationship is stronger for a steeper contango. In Figure 22 we present data collected from different research reports on the actual crude oil in floating storage worldwide alongside the optimal time to delivery for the arbitrage trade. We see that there is a substantial increase in the amount of crude oil stored at sea starting in October 2008. This coincides with the appearance of floating storage opportunities according to our model. Furthermore, the short disappearance of floating storage opportunities according to our model in June 2009 was accompanied by a clear downward trend in the number of tankers storing crude in the Goldman Sachs and Gibson Research data. 73 The same analysis can be performed for different markets and different routes. As a point of comparison we present the results for the gasoil arbitrage between Europe and the United States. The product being traded is No. 2 fuel oil, also known as gasoil or heating oil. The loading port is the Amsterdam-Rotterdam-Antwerp (ARA) region, Europe’s major refining hub. The destination is New York harbor (NYH), which is the main delivery point of refined products on the east coast of the United States. Details of the route and cargo are presented in Appendix 8. The arbitrage profit, decomposed as described above, is presented in Figure 23. The optimal delivery time is presented in Figure 24 and these results should be compared to the spot prices in Figure 25 and the forward curve slope in Figure 26. We note that the arbitrage window is open less frequently than was the case for crude oil and the spread has been negative on occasions, making the inverse arbitrage (U. S. to Europe) interesting. However, there have been significant floating storage opportunities since the end of 2008 as witnessed in Figure 24, and these profits have been very interesting: around 20 cents per gallon for a gallon costing less than 2 dollars. 16 Data Linear regression 14 12 Arbitrage profit (Ω ) 10 y = 3.35 + 0.91x Rsq = 0.30 8 6 4 2 0 -2 -4 -2 0 2 4 Forward slope ($/bbl/month) 6 8 10 Figure 21. Relationship between the forward curve slope at the delivery port (LLS LOOP) and the arbitrage profit 74 180 350 Morgan Downey (crude + resid) IEA/Goldman Sachs 300 Gibson research 140 250 Time to delivery 120 100 200 80 150 60 100 40 Time to delivery (days) Crude floating storage (mn bbl) 160 50 20 0 0 6/1/2008 9/9/2008 12/18/2008 3/28/2009 7/6/2009 10/14/2009 1/22/2010 5/2/2010 Figure 22. Crude oil in floating storage worldwide (left axis) and optimal time to delivery of the floating storage trade (right axis). Sources: IEA/Goldman Sachs Global ECS Research, Gibson Research, Morgan Downey A rb profit (Ω ) Spread Freight cost 0.5 0.4 0.3 0.2 $/gal 0.1 0 -0.1 -0.2 -0.3 -0.4 -0.5 02/23/04 07/07/05 11/19/06 04/02/08 08/15/09 12/28/10 Date Figure 23. Arbitrage profit per gallon for gasoil trade between ARA and NYH 75 600 Time to delivery (days) 500 400 300 200 100 0 02/23/04 07/07/05 11/19/06 04/02/08 08/15/09 12/28/10 Date Figure 24. Time to delivery for arbitrage on the ARA-NYH route Gasoil ARA spot Heating oil NYH spot 4.5 4 Price ($/gal) 3.5 3 2.5 2 1.5 1 02/23/04 07/07/05 11/19/06 04/02/08 08/15/09 12/28/10 Figure 25. Spot prices of No. 2 fuel oil at Amsterdam-Rotterdam-Antwerp (blue) and New York harbor (green), in US Dollars per gallon 76 Heating oil NYH forward curve slope 0.08 0.06 0.04 Slope ($/gal/month) 0.02 0 -0.02 -0.04 -0.06 -0.08 -0.1 -0.12 02/23/04 07/07/05 11/19/06 04/02/08 08/15/09 12/28/10 Figure 26. Slope of the heating oil forward curve at New York Harbor, in US Dollars per gallon per month Expected and excess profits The results presented for were static arbitrage results. We now consider the optimal trading strategy presented in Section 4.2. This trading strategy yields a value function V which is the expected profit of the physical trading strategy. These results are obtained using the semi-analytical formulation presented in Section 4.3, calculating the exercise boundary numerically as described in Appendix 7. The two-factor model used is calibrated on the crude oil futures market as described in Section 2.4, and we make the assumption that drifts are zero: the expected spot price is therefore equal to the forward price. Furthermore, trades are limited to a maximal exposure time T equal to 100 days. We study the shape of and V with the initial date set to December 18, 2008. As seen in Figure 27 the and V as functions of the factor values f1 and f 2 at forward curve on that date was in contango. We plot trade initiation. 77 60 F (τ) 0 100 F (τ) - Fc(τ) (net of freight) 0 80 55 60 Profit ($/bbl) F(τ) ($/bbl) 50 V 40 20 45 0 -20 40 -40 0.06 35 0 50 100 150 τ (days) 200 250 0.04 0.02 0 -0.02 -0.04 -0.06 0 -0.5 -1 1 0.5 300 f f 2 1 Figure 28. Ω and V as functions of the factors f1 and f2 at trade initiation (December 18, 2008) Figure 27. Forward curve and forward curve net of freight on December 18, 2008 V(f1,0), tau = 100 days V(0,f2), tau = 100 days 80 1 12 1 0.9 60 0.9 10 V Veur 0.8 0.8 Vearly 40 0.7 8 0.7 Profit ($/bbl) Profit ($/bbl) Ω 0.6 20 0.5 Ω 0 0.4 -40 0.1 -0.8 0 24 0.3 2 V early 0.2 0.2 f* 1 -0.6 29 -0.4 34 -0.2 41 0 f1 0.2 49 59 F1 level ($/bbl) 0.4 70 0.6 84 0.5 4 0.4 V V eur 0.3 -20 0.6 6 0.8 0 0.1 -0.06 -0.04 -0.02 0.02 0.04 0.06 101 0 +6.04 +5.67 +5.30 +4.93 +4.56 Fwd curve slope ($/bbl/month) +4.19 +3.82 0 f2 Figure 29. Cross-section of Ω and V at trade initiation as a function of f1 (left) and f2 (right) 78 Excess profit from continuation, V - Ω, τ = 100 days Profit ($/bb l) +4.01 1 0.05 +4.19 0.9 0.04 4 +4.38 0.03 0.8 3.5 +4.56 0.02 0.7 3 +4.74 0.01 0.6 2.5 +4.93 0 * f2 Fwd curve slope ($/bbl/month) ∂S (T) 0.5 -0.01 2 +5.11 +5.30 0.4 -0.02 1.5 +5.48 0.3 -0.03 1 +5.67 -0.04 0.2 0.5 +5.85 0 0.1 -0.05 0.1 0.2 0 -0.6 0.3 -0.4 0.4 -0.2 0.5 29 34 41 0.6 0 f1 0.7 0.2 0.8 0.4 0.9 0.6 49 59 F1 level ($/bbl) 70 1 0 84 Figure 30. Expected excess profit from continuation V - Ω at trade initiation, in USD/bbl, and exercise boundary (red line) In Figure 28 and Figure 29 we show the dependence of V and on f1 and f 2 . The values corresponding to the initial forward curve are V (0, 0, 0) and Ω(0, 0, 0) , valued respectively at 6.55 $/bbl and 5.81 $/bbl. The other values correspond to a forward curve that has been shocked by the factor values f1 and f 2 . We can see that, predictably, a positive parallel shift ( f1 > 0) yields a higher expected profit. The slope with respect to the second factor is lower. We can also see that V and are the same at the maximal exposure time: this is the terminal condition that we impose. Furthermore, at trade initiation V is higher than Ω , and more so for low values of Ω . Thus there is value to keeping the options open. For negative values of Ω it is still possible to have positive values of V: there is a chance that prices will rebound enough to yield a profit during the trade period. Figure 29 decomposes the value function V into two components: the European exercise value Veur and the early exercise premium Vearly . The European exercise value corresponds to the expected profit that would be earned if the cargo was held until the maximal exposure time T (100 days in this case), and then sold into the market. This value largely depends on the drifts of the factors. The mean-reverting model has a large impact in this respect. When the value of f1 is negative, it is expected to increase, which pushes the expected value up compared to the arbitrage value. When the value of f1 is positive, its expected value is lower, pushing the expected value down. 79 This is counteracted by the early-exercise premium, which is positive for high values of the first factor and for high absolute values of the second factor. This corresponds to situations where it is close to optimal to exercise. The decision to exercise is made based on the difference between the expected profit V and the exercise profit Ω . We plot this difference in Figure 30. The darkest zone, where V = Ω , is the exercise region. If ( f1 , f 2 ) falls in this zone it is optimal to specify delivery of the cargo and harvest the profit Ω . Outside this region it is optimal to continue sailing and delay the decision about delivery time until later. The excess profit is seen to depend on the shape of the forward curve through the factor values f1 and f 2 . The excess profit is seen to be highest when the first factor is lowest: because it is mean-reverting, keeping the position open gives more upside exposure than downside exposure. Dependence of expected profits on model parameters The results above are presented for a two-factor model that has been calibrated on the crude oil market as detailed in Part 2. We have seen that the interpretation of the excess profits is linked to the model parameters α , σ and µ which determine the distribution of possible forward curves. It is therefore interesting to examine the dependence of the profits on the values of these parameters. We vary the parameters within reasonable ranges around the reference values that have been used before, and plot the dependence of V, Veur , Vearly and Ω on these parameters. The trade initiation date is December 18, 2008. The results are presented in Figure 31. The dependence on the mean-reversion parameter is rather weak compared with the dependence on the other parameters. This can be explained by the fact that the maximal exposure time, 100 days, is rather short, and that the excess profit we are considering is taken at f10 = f 20 = 0 , such that the expected value of the factors is not affected by the mean-reversion parameter. The dependence on the volatilities of the factors is very strong, with a doubling of σ 1 from 26% to 52% taking the excess expected profit from 0.68 $/bbl to 2.19 $/bbl. The effect is larger in the first factor because the magnitude of the excess profits coming from the first factor are much larger. But in relative terms, doubling σ 2 from 1.86% to 3.72% takes the excess profit attributable to the second factor, i. e. the difference between the profit for a σ 2 larger than zero and the profit for σ 2 = 0 , from 7.78 c/bbl to 26.14 c/bbl, which is a significant increase. The effect of the drift parameters µ1 and µ 2 is to change the expectations about what the forward curve will look like in the future. In particular, a negative value for µ1 means that the trader is taking a sharply negative view on the future level of prices. In that case it is more interesting to exercise early to take the profits given the current level of prices. A positive value for µ1 is a positive view on levels and it will be preferable to wait to take advantage of rising prices. A negative value for µ 2 corresponds to a view of a sharper contango, which is beneficial to the trade, while more backwardation ( µ 2 > 0 ) is detrimental. 80 Figure 31. Dependence of expected profits on the model parameters Dependence of profits on α Dependence of profits on α 2 1 7 7 6 6 Ω V Veur 5 Profit ($/bbl) 4 Profit ($/bbl) 5 Vearly 3 Reference 2 V Veur Vearly 3 Reference 2 1 1 0 -1 Ω 4 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 0 0 1.8 α1 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 α2 Dependence of profits on α1. Reference is α1 = 0.84 yr-1 Dependence of profits on α2. Reference is α2 = 0.84 yr-1 Dependence of profits on σ 2 Dependence of profits on σ 1 7 9 8 6 7 5 Profit ($/bbl) 5 Profit ($/bbl) 6 Ω 4 V V eur 3 V early 2 Reference Ω 4 V Veur 3 Vearly Reference 2 1 1 0 -1 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0 0 0.7 σ1 0.005 0.01 0.015 0.02 0.025 Dependence of profits on σ1. Reference is σ1 = 26% (annualized) Dependence of profits on µ Dependence of profits on µ 2 1 7 6 10 Ω 5 V V Profit ($/bbl) 8 Profit ($/bbl) 0.035 6 Ω V Veur 4 V 2 -0.2 -0.1 0 0.1 0.2 early 0.3 4 V eur early Reference 3 2 1 Reference -0.3 0.04 Dependence of profits on σ2. Reference is σ2 = 1.86% (annualized) 12 0 -0.4 0.03 σ2 0 -0.025 -0.02 -0.015 -0.01 -0.005 0.4 0 0.005 0.01 0.015 0.02 0.025 µ2 µ1 Dependence of profits on µ2. Reference is µ2 = 0 yr-1 Dependence of profits on µ1. Reference is µ1 = 0 yr-1 81 Dependence of profits on the ship speed In some circumstances, it can be beneficial for the trade to sail the ship slowly across the Atlantic in order to save on fuel costs. Intuitively, this will be especially useful when the forward curve is in a slight contango. The speed will affect profits in three ways: • A faster ship will be able to deliver its cargo earlier, which is important in a strong backwardation • A faster ship will be chartered for less time, such that its total time charter cost will be lower • A faster ship will consume more fuel. The fuel consumption function FC (u ) is approximately cubic in the speed u. In Figure 32 we examine the variation of the profits with the speed of the ship u for a trade beginning on August 13, 2008 and April 28, 2009. We notice that the speed has a small influence on profits, of the order for 10 c/bbl for a speed varying from 8 to 17 knots. The speed is fixed during the voyage. When the forward curve is in backwardation, there is incentive to deliver the cargo as soon as possible. A higher speed allows the trader to deliver the cargo earlier, but at the cost of higher fuel consumption. There is an optimal speed of around 13 knots yielding the best tradeoff. When the forward curve is in contango, the trade will involve some amount of floating storage at destination, such that fuel savings can be interesting. The excess profit V − Ω , however, is not affected by the speed. 11 1.6 1.5 Ω 1.4 10 Freight cost Spread Ω V Freight cost (Ω ) 9 1.3 Profit ($/bbl) Profit ($/bbl) Spread (Ω ) 1.2 1.1 1 0.9 8 7 6 0.8 5 0.7 8 9 10 11 12 u (knots) 13 14 15 4 8 16 9 10 11 12 13 u (knots) 14 15 16 17 April 28, 2009 (contango) August 13, 2007 (backwardation) Figure 32. Variation of profits with vessel speed (fixed during the voyage) on two different dates, when the forward curve was in backwardation (left) and contango (right) 82 Time series of expected profit, risk and Sharpe ratio For each week in the sample period, we perform the above calculations and derive: , the expected profit V and the excess profit V − Ω • The arbitrage profit • The expected risk, i. e. the standard deviation of W • The a priori Sharpe ratio We plot these values as a function of time. 15 Ω V V eur Vearly 10 Profit ($/bbl) 5 0 -5 -10 06/07/07 09/15/07 12/24/07 04/02/08 07/11/08 10/19/08 01/27/09 05/07/09 08/15/09 11/23/09 Figure 33. Arbitrage profit Ω and expected profit V, decomposed into Veur and Vearly, for weekly loading dates from August 2007 to August 2009 83 1.4 12 V-Ω 1.2 10 Standard deviation ($/bbl) Excess profit ($/bbl) 1 0.8 0.6 8 6 4 0.4 2 0.2 0 06/07/07 09/15/07 12/24/07 04/02/08 07/11/08 10/19/08 01/27/09 05/07/09 08/15/09 0 06/07/07 09/15/07 12/24/07 04/02/08 07/11/08 10/19/08 01/27/09 05/07/09 08/15/09 11/23/09 11/23/09 Figure 34. Expected excess profit V – Ω for different loading dates Figure 35. Expected standard deviation of realized profits. The zero values correspond to dates when exercise is immediate 0.7 40 35 SR on V - Ω 0.6 30 25 Sharpe ratio Exposure time (days) 0.5 20 0.4 0.3 15 0.2 10 0.1 5 0 06/07/07 09/15/07 12/24/07 04/02/08 07/11/08 10/19/08 01/27/09 05/07/09 08/15/09 11/23/09 Figure 36. Expected exposure time 0 06/07/07 09/15/07 12/24/07 04/02/08 07/11/08 10/19/08 01/27/09 05/07/09 08/15/09 11/23/09 Figure 37. A priori annualized Sharpe ratio1 of the excess profit V – Ω E[t * ] of the trade. The maximal exposure time is T = 100 days 1 The average long-term Sharpe ratio of the S&P500 is about 0.4. The Sharpe ratios in Figure 37 are calculated on profits over the riskless arbitrage profit . They are on the order of 6 when calculated over the risk-free rate. 84 1.4 V-Ω Excess profit V - Ω ($/bbl) 1.2 1 0.8 0.6 0.4 0.2 0 -2 0 2 4 6 Forward curve slope ($/bbl/month) 8 10 Figure 38. Excess expected profit V – Ω vs. Forward curve slope at delivery port In Figure 33 we plot the arbitrage profit and the expected profit V as a function of the trade initiation date. أي. each week we examine the forward curve, spot price and shipping cost and determine what the arbitrage profit would be for a cargo loaded within the loading window τ load (15 days), as well as the expected profit V from loading the cargo and executing the optimal trading strategy. We see that these profits are always at least as great as the arbitrage profits. We have already studied the behavior of the time series of , so we will concentrate here on the excess profit, V – . We plot this expected excess profit as a function of time in Figure 34. Its value varies between 0 and 1 $/bbl, averaging 74 c/bbl in the period when the excess profit is positive. We note that the period under consideration can be separated in two: from 2007 to mid-2008 the continuation value is zero, while after the market crash in 2008 the excess profit jumps to values around 75 c/bbl. The first period corresponds to a backwardated forward curve, while the second period corresponds to a period of strong contango and low freight rates following the crisis. In Figure 38 we show the relationship between the forward curve slope at the delivery port and the excess profit from continuation. Consistently with what was proved in Section 4.4, we find that a forward curve in backwardation or in slight contango yields a zero excess profit, while all the positive excess profits are associated with a forward curve in contango. The standard deviation of the profits over the trade, presented in Figure 35, is significant, averaging 6.66 $/bbl in the period when the excess profit is positive. This is the risk associated with keeping the exposure to the forward curve open, and is accordingly zero when the cargo should be sold forward immediately, i. e. V = . The expected time over which this exposure is held E[t * ] is presented in Figure 36, and averages 27 days. 85 We note that the exposure time never reaches the maximal exposure time T that is set to 100 days here. Combining expected profit and risk we can calculate the annualized Sharpe Ratio associated with the strategy, which is presented in Figure 37. We consider this Sharpe ratio in excess of the riskless profit . It averages 0.41 during the period. In Section 4.6 we examine the detail of these time series and attempt to explain the appearance of excess profits. Realized profit and standard deviation The functions Ω(t , f1 , f 2 ) and V (t , f1 , f 2 ) define a physical trading strategy that can readily be put into practice. Given historical time series of the actual moves in the forward curve we can calculate the profits that would have been realized by following this strategy, and compare them to the expected profits and risks presented above. Statistics1 35 Realized profit W ($/bbl) Expected profit V ($/bbl) 95% C. I. for W E[W – V] 0.74 $/bbl Std[W – V] 6.21 $/bbl 20 SR on W 5.95 15 SR on W – 1.99 30 Profit ($/bbl) 25 10 5 0 -5 -10 -15 06/07/07 09/15/07 12/24/07 04/02/08 07/11/08 10/19/08 01/27/09 05/07/09 08/15/09 11/23/09 Figure 39. Expected profit V and realized profit W on different dates 1 Statistics are not calculated on the entire period, but on the period when V > 86 Statistics 120 Realized exposure time t* (days) * E[trealized − E[t * ]] * -1.5 days * Std[trealized − E[t * ]] Expected exposure time E[t*] (days) 15 days 95% C. I. for t 100 Exposure time (days) 80 60 40 20 0 06/07/07 09/15/07 12/24/07 04/02/08 07/11/08 10/19/08 01/27/09 05/07/09 08/15/09 11/23/09 Figure 40. Expected and realized exposure times t* On each week in the sample period, having calculated the functions Vt0 (t , f1 , f 2 ) and Ωt0 (t , f1 , f 2 ) with trade initiation date t0 , we execute the trading strategy defined by: • if Vt0 (0, 0, 0) > 0 , the trade is expected to be profitable, so initiate the trade by buying the cargo and chartering the vessel • At each time from trade initiation t > 0 , observe the forward curve F (t, τ ) and calculate the factor values using the orthogonality condition in (2.11), f k (t ) = τ max F (t, τ ) dτ F0 (τ ) ∫ u (τ ) log k 0 • (4.52) If t < T (maximal exposure time, 100 days in this case), compare the exercise and continuation profits: o If Vt0 (t , f1 (t ), f 2 (t )) > Ωt0 (t , f1 (t ), f 2 (t )) , then continue sailing at speed u o If Vt0 (t , f1 (t ), f 2 (t )) = Ωt0 (t , f1 (t ), f 2 (t )) , it is optimal to exercise, so sell the cargo forward and collect Ωt0 (t , f1 (t ), f 2 (t )) 87 • If t = T , sell the cargo forward and collect Ωt0 (T , f1 (T ), f 2 (T )) If the exercise time is t * , the realized profit on this trade is then t* W (t , f1 (t ), f 2 (t )) = ∫ − g (t )dt + Ω(t * , f1 (t * ), f 2 (t * )) * * * (4.53) 0 As can be seen from Figure 39, the realized profit is highly variable – but it stays within the bounds of the 95% confidence interval for W based on the expected risk calculated previously. The standard deviation of W–V calculated over the period when there are excess profits is 6.21 $/bbl, close to the average standard deviation seen in Figure 35. The exposure time, presented in Figure 40, varies widely The annualized Sharpe ratio of the strategy over this period is 1.99 if calculated on the profits in excess of and 5.95 if considered in excess of the risk-free rate. , Realized profits and standard deviation with hedging The significant standard deviation of the realized profits W versus the expected profits V comes from the exposure of the trade to the risk factors f1 and f 2 . Using the hedge ratios computed from the expected profit function V we can simulate what the realized profit is when the profit is delta-hedged with respect to the first or second factor. At time t into the trade, assuming the cargo has not been sold, the value function has deltas δ1 and δ 2 with respect to f1 and f 2 : δk = ∂V (t , f1 (t ), f 2 (t )) ∂f k (4.54) In order to eliminate the risk from factor 1, for example, we take a position −δ1 in the factor f1 . How to achieve this with the available futures contracts is explained in Section 2.9. The impact of this position on the ɶ evolution of the expected portfolio P&L U is ɶ dU = δ1σ 1dW1 + δ 2σ 2 dW2 − δ1df1 (4.55) = δ1 (α1 f1 − µ1 )dt + δ 2σ 2 dW2 Hence the realized P&L at the end of the trade is τ* τ* 0 0 ɶ U (τ , f1 , f 2 ) = V (0, f , f ) + ∫ δ1 (t , f1 (t ), f 2 (t ))(α1 f1 − µ1 )dt + ∫ δ 2 (t , f1 (t ), f 2 (t ))σ 2 dW2 (t ) (4.56) * 0 1 0 2 88 The risk tied to the first factor has therefore been eliminated – but this also reduces the expected profit. The same approach can be applied to the second factor, hedging out tilts. A common practice is to hedge out the parallel shift factor, which is the major risk factor, and keep the exposure to tilts. Statistics 30 Realized profit W ($/bbl) Expected profit V ($/bbl) 95% C. I. for W E[W – V] -0.68 $/bbl Std[W – V] 3.03 $/bbl SR on W 6.48 SR on W – 25 0.06 20 Profit ($/bbl) 15 10 5 0 -5 -10 06/07/07 09/15/07 12/24/07 04/02/08 07/11/08 10/19/08 01/27/09 05/07/09 08/15/09 11/23/09 Figure 41. Expected profit V and realized profit W when hedging the first factor Statistics 30 Realized profit W ($/bbl) Expected profit V ($/bbl) 95% C. I. for W E[W – V] 0.01 $/bbl Std[W – V] 2.42 $/bbl SR on W 9.15 SR on W – 25 1.12 20 Profit ($/bbl) 15 10 5 0 -5 -10 06/07/07 09/15/07 12/24/07 04/02/08 07/11/08 10/19/08 01/27/09 05/07/09 08/15/09 11/23/09 Figure 42. Expected profit V and realized profit W when hedging the first and second factors 89 As can be seen in Figure 41 and Figure 42, the hedging does indeed diminish the risk of the strategy. The historical standard deviation of W − V is • 3.03 $/bbl when hedging the first factor • 2.42 $/bbl when hedging the first and second factor This should be compared to the unhedged standard deviation of 6.21 $/bbl. It is interesting to note that even hedging both factors does not render the strategy riskless, contrary to theory. There are two reasons for this: • The delta-hedging is only daily and not continuous, and high-amplitude movements (jumps) in the factors will not be hedged perfectly • The forward curve does not only move in shifts and tilts, and only those movements have been hedged out 7. Origins of excess profits We have shown that in addition to significant arbitrage profits to be made on arbitraging crude oil between Europe and the United States, following an optimal storage and selling strategy could lead to significant excess profits. It is interesting to understand the origin of these profits in order to understand in what fundamental situations they might appear. We will make a distinction in what follows between • The origin of excess expected profits • The origin of realized profits, i. e. when the trading strategy performs well Origin of excess expected profits We have established in Section 3.5 that the period August 2007 – August 2009 can be decomposed into two periods: August 2007 to October 2008, when the forward curve for crude oil was in backwardation and there were no expected excess profits, and October 2008 to August 2009, when the forward curve was in contango and there could be found excess profits in keeping exposure to the forward curve open. We will concentrate on the second period here. We have already established that the forward curve (net of freight cost) being in contango is a necessary condition for the excess profit to be positive. We can gain more insight into the origins of excess profits by decomposing the excess profit as follows 90 EPtotal = V (0, f1 , f 2 ) − Ω(0, f1 , f 2 ) = EPdrift + EPconvexity + EPearly EPdrift = Ω(T , Ef1 (T ), Ef 2 (T )) − G (T ) − Ω(0, f1 , f 2 ) EPconvexity = Veur − (Ω(T , Ef1 (T ), Ef 2 (T )) − G (T )) (4.57) EPearly = Vearly When considering the initial expected profit, f1 = f 2 = 0 such that Ef1 (T ) = Ef 2 (T ) = 0 and EPdrift = Ω(T , 0, 0) − G (T ) − Ω(0, 0, 0) (4.58) This expected profit will generally be zero for a forward curve in contango. It can, however, be significant for non-zero factor values because of their mean-reverting property. The excess profit from convexity can be written as EPconvexity = E [ Ω(T , f1 (T ), f 2 (T )) ] − Ω(T , Ef1 (T ), Ef 2 (T )) and captures the non-linearity of cargo before the date T. (4.59) . As for the early-exercise premium, it captures the possibility of selling the We present the time series of the excess expected profits and its decomposition in Figure 43. We notice that the major part of the excess profit comes from the convexity, averaging 84% of the total excess profit. The convexity and early-exercise premia are rather regular. 1.5 1 Excess profit ($/bbl) 0.5 0 -0.5 -1 Total Drift Convexity Early -1.5 -2 10/19/08 12/08/08 01/27/09 03/18/09 05/07/09 06/26/09 08/15/09 10/04/09 Figure 43. Decomposition of expected excess profits as a function of time 91 Based on these observations we can conclude that • The existence of an excess profit is conditional on the forward curve net of shipping cost being in contango • When the contango condition is satisfied, the expected excess profits are fairly stable. Trade performance and origin of realized profits We have identified in what situations excess profits are expected. However, in a trading situation it is important to know in what cases the trade will succeed and in which cases it will yield a loss, in order to understand the expected profits and risk manage the position. Profit ($/bbl) 0.2 15 0.1 0.05 10 70 0.04 0.01 40 0 30 -0.01 20 -0.02 10 -0.03 0 U f1 -0.04 -10 f2 0 5 U(t), Ω (t) ($/bbl) 50 f1, f2 60 0.02 f2 0.03 Ω -0.1 0 -0.05 -0.6 -0.4 -0.2 0 f1 0.2 0.4 -0.2 0.6 0 5 10 15 20 Days from trade initiation t 25 -5 30 Figure 44. Evolution of f1, f2, expected P&L U and exercise profit Ω during the trade starting on December 18, 2008. Left, the path of (f1(t), f2(t)) during the trade overlaid on the expected profit V. Right, these functions as a function of days from trade initiation. The delivery of the cargo is specified after 29 days. In Figure 44 we present the evolutions of the factor values and the expected and exercise profits U and during the physical trade initiated on December 18, 2008. In this particular case, the cargo is exercised after 29 days, when the expected profit and exercise profit are seen to converge. The realized profit W at the end of the trade is 13.6 $/bbl. We also present the evolutions of the factor values f1 and f2 on the same figure. As we have already seen, V has the strongest delta with respect to the first factor, and the realized profit is highly correlated with the value of f1 during the trade. When hedging the first factor, however, the realized profits are more correlated with the second factor, as is seen in Figure 45. 92 8 0 6 U(t), Ω (t) ($/bbl) 10 0.1 f1, f2 0.2 Ω -0.1 U f1 4 f2 -0.2 0 5 10 15 20 Days from trade initiation t 25 2 30 Figure 45. Evolution of the factor values and profits during the trade starting on December 18, 2008, when hedging the first factor In order to assess how the trade will perform based on the evolutions of the two factors it is useful to recall the shape of the payoff function as a function of both factors. V(f1,0), tau = 100 days V(0,f2), tau = 100 days 80 1 12 1 0.9 60 0.9 10 V Veur 0.8 0.8 Vearly 40 0.7 8 0.7 Profit ($/bbl) Profit ($/bbl) Ω 0.6 20 0.5 Ω 0 0.4 V early 0.2 -0.6 -0.4 -0.2 0 24 29 34 41 0.3 2 0.2 f* 1 -40 0.1 -0.8 0.5 4 0.4 V V eur 0.3 -20 0.6 6 0.2 0.4 0.6 0.8 0 0.1 -0.06 -0.04 -0.02 0.02 0.04 0.06 49 59 F1 level ($/bbl) 70 84 101 0 +6.04 +5.67 +5.30 +4.93 +4.56 Fwd curve slope ($/bbl/month) +4.19 +3.82 0 f1 0 f2 Figure 46. Cross-section of Ω and V at trade initiation as a function of f1 (left) and f2 (right) As can be seen in Figure 46 the dependence of the trade has the following characteristics with respect to f1 and f2: • It is directional with respect to f1, similar to a forward exposure • It is a volatility trade with respect to f2 : the payoff is convex and has higher payoff for large movements of f2 in either direction. This is closer to a straddle option. 93 Figure 47. Realized profits as a function of realized drifts and volatilities during the trade period, for a trade starting on December 18, 2008 7 7 No hedging Factor 1 hedged Factors 1 & 2 hedged Ref. value 6 6 5 5 No hedging Factor 1 hedged Factors 1 & 2 hedged Ref. value 4 4 W W 3 3 2 2 1 1 0 0 -1 -0.4 -1 -0.3 -0.2 -0.1 0 0.1 Realized µ1 0.2 0.3 -2 0.4 0.2 0.4 0.6 0.8 Realized σ 1 1 1.2 1.4 4.5 4.5 No hedging Factor 2 hedged Factors 1 & 2 hedged Ref. value 4 4 3.5 3 3 W 3.5 W 0 2.5 2.5 2 No hedging Factor 2 hedged Factors 1 & 2 hedged Ref. value 2 1.5 -0.025 1.5 -0.02 -0.015 -0.01 -0.005 0 0.005 Realized µ 0.01 0.015 0.02 0.025 2 0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 Realized σ 2 0.06 0.07 0.08 This intuition is confirmed by the results in Figure 47. In this figure we present the realized profits as functions of realized drifts and volatilities, imposed in a Monte Carlo simulation, different from the a priori drifts and volatilities used when valuing the floating storage opportunity. We can clearly see the directional nature of the position in f1, with realized profits that are linear in the drift µ1 . These are also increasing in the volatility σ 1 because of the slight convexity of the payoff function. On the other hand, the realized profits are independent of the drift µ 2 of the second factor, but strongly related to its realized volatility. 94 8. General commodity trading problem The problem we have been considering is limited to a single delivery port and a single tanker speed. The only choice that is left to the trader is time of delivery. In general, an oil (or other commodity) cargo that has not yet been sold forward can be rerouted to a different port. The ship can also sail slower in order to save fuel. These optionalities make the cargo more valuable to a trader than what has been calculated previously. A decision model for optimal ship routing should take into account the forward prices at different potential delivery ports and open for the possibility of delaying the choice of delivery port to a later date. For example, a cargo of Bonny Light crude oil loaded in Nigeria could potentially be delivered to Europe or the United States. Instead of choosing a delivery location immediately the oil trader could choose to route the ship northbound in the mid-Atlantic, and waiting to see if the spread evolves. We will formulate the stochastic control equations governing how the ship should be routed to maximize profit. The notations are the same as previously, but we now introduce: • A set of destination ports X kP at which the cargo can be delivered, each with a forward curve Fk (τ ) • The speed of the ship u can be varied within bounds [u1 , u2 ] , usually between 8 and 16 knots • The instantaneous direction of the ship is the unit vector d Exercise profit We define Ω( X , Fk (τ )) to be the profit that can be earned on the cargo if the ship is at location X and the forward curve in port k is Fk (τ ) , by committing to a specific delivery price sometime in the future and sailing to deliver at that time. In effect, the trader gives up the possibility of changing delivery port and time. At exercise, one chooses a delivery port k, a time-to-delivery τ and a sailing speed u. For one choice of these parameters, the profit is τ sail (k , u ) = d ( X , X kP ) / u ω (k, τ , u ) = Fk (τ ) − S0 − Hτ − B ⋅ ( FC (u )τ sail (k , u ) + FCa (τ − τ sail (k , u ))) − BH k (τ ≥ τ sail (k , u )) (4.60) The exercise profit is obtained by maximizing ω ( k, τ , u ) over all possible ports, speeds and times to delivery: Ω( X , Fk (τ )) = max ω (k, τ , u ) k, u τ ≥τ sail ( k, u ) 95 (4.61) Expected profit and optimal route Let us define V ( X , Fk (τ )) as the expected profit from the cargo when the tanker is at the location X and the forward curves are given by Fk (τ ) . Let g ( X , u ) be the daily cost of sailing at speed u when the ship is at location X, i. e. g ( X , u ) = H + B ⋅ FC (u ) if the ship is sailing g ( X , u ) = H + B ⋅ FCa if the ship is at anchor at port k P k (4.62) When the ship is at a location X , the trader has two choices: • either “exercise” and sell the cargo forward, thereby earning the exercise profit Ω( X , Fk (τ )) • or choose to continue speculating during a time dt without exercising. If the ship is at sea he can choose the optimal speed u and direction d and the expected profit is: VC ( X , Fk (τ )) = max E V ( X + udtd , Fk (τ ) + dFk ) − g ( X , u )dt u, d (4.63) If the ship is in port (floating storage), the expected profit is VC ( X lP , Fk (τ )) = E [V ( X , Fk (τ ) + dFk )] − g ( X lP , 0)dt (4.64) This gives the continuation value VC . The forward curves are evolved during the time period dt using the two-factor model. Hence the expected profit at location X given the forward curves Fk (τ ) is V ( X , Fk (τ )) = max [ Ω( X , Fk (τ )), VC ( X , Fk (τ ))] (4.65) Hamilton-Jacobi-Bellman equation When we assume that the underlying factors follow diffusions we can derive a continuous-time equation to evaluate V. This equation is known as the Hamilton-Jacobi-Bellman (HJB) equation for the stochastic control problem, see Morimoto (2010) and Chang (2004). We assume that each of the forward curves Fk (τ ) is governed by a two-factor model, such that k k log Ft k (τ ) = log F0k (t + τ ) +ψ 1k (t, τ ) +ψ 2 (t, τ ) + u1k (τ ) f1k (t ) + u2 (τ ) f 2k (t ) where: 96 (4.66) df jk (t ) = −α k f jk (t )dt + σ k dW jk (t ), j j dψ k (t, τ ) = − j ( j = 1, 2 ) 2 1 kk σ j u j (t + τ ) dt 2 (4.67) For the sake of simplicity we renumber the factors f jk as a sequence ( f i )i =1. م. While the two factors for a single forward curve are uncorrelated, factors for different forward curves will be correlated, such that in general df k df l = σ kσ l ρ kl dt (4.68) Consider a location X, time t and factor values f i and assume that VC > Ω , i. e. we are in the continuation region, s. t. V = VC . We develop V using Ito’s formula: M ∂V ∂V ∂V 1M M ∂ 2V dt + ⋅ d ⋅ dX + ∑ dfi + ∑∑ dfi df j ∂t ∂X 2 i =1 j =1 ∂fi ∂f j i =1 ∂f i (4.69) 2 M MM M ∂V ∂V ∂V 1 ∂V ∂V =V + +u ⋅ d + ∑ ( µi − α i f i ) + ∑∑ ρijσ iσ j σ i dWi dt + ∑ ∂t ∂X ∂fi 2 i =1 j =1 ∂fi ∂f j i =1 i =1 ∂f i V ( X + d ⋅ dX , t + dt , f1 + df1 . f M + df M ) = V + Taking expectations in the definition of VC and simplifying, we finally get the equation: M ∂V ∂V ∂V 1 M M ∂ 2V 0 = max − g ( X , u ) + +u ⋅ d + ∑ ( µi − α i f i ) + ∑∑ ρijσ iσ j u, d ∂t ∂X ∂f i 2 i =1 j =1 ∂f i ∂f j i =1 (4.70) This is a typical example of a Hamilton-Jacobi-Bellman equation. It is valid in the continuation region, i. e. ( f1 . f M ) ∈ S * (t ) . The boundary conditions are given by the smooth pasting condition on the free boundary ∂S * (t ) : V (t , X , f1 . f M ) = Ω(t , X , f1 . f M ) ∀( f1 . f M ) ∈ ∂S * (t , X ), ∇V (t , X , f1 . f M ) = ∇Ω(t , X , f1 . f M ) (4.71) The terminal condition is that at the maximal exposure time T, the cargo should be delivered: V (T , X , f1 . f M ) = Ω(T , X , f1 . f M ) (4.72) Solving the general problem This problem can in principle be solved numerically by dynamic programming or finite differences. However, the potentially large number of state variables can make it challenging to solve using these methods. The preferred method for such a problem would be a least-squares Monte Carlo simulation as presented in Longstaff and Schwartz (2001). This requires work on finding appropriate basis functions to project the solution on. 97 5. CONCLUSIONS 1. Summary of results In Part 2 we have developed a two-factor model and given evidence that it is sufficient for modeling the term structure of volatility and the correlation surface of a number of commodities. We prove that it is easily formulated as a model involving two independent and mean-reverting factors that represent the change in level and slope of the forward curve. We find that the first factor is the dominant factor and the majority of variance of forward prices comes from the first factor. However, other factors cannot be ignored as they will affect portfolios that are weighted differently. We also show that the spot price process implied by this two-factor model is consistent with the Schwartz and Smith (2000) formulation with short-term and long-term shocks driving the spot price. Furthermore, we show that the shapes of forward curves consistent with the two-factor model are exponentials of the factors weighted by their factor loadings. This allows for a simple calibration of forward curves to the market model and an interpretation of the factor values in terms of mean level and initial slope of the curve. The applicability of this model to a number of forward markets, as well as its simple analytical formulation, makes it useful in different valuation settings involving commodity prices. In Part 3 we address the pricing of Asian options written on commodity forwards. We show that by understanding the term structure of volatility correctly, as well as the effect of the averaging on the volatility of the payoff, Asian options can be priced approximately but analytically in a simple way. Comparing our theoretical prices to market prices, we find that it correctly reproduces the term structure of implied volatilities. The understanding of this should increase liquidity in the freight options market. The understanding of volatility and its value also has a profound impact on valuation and operational decisions that involve commodities. In Part 4 we study the floating storage trade involving crude oil and tankers using the two-factor model. This trade can be viewed as the sum of a cross-Atlantic and temporal arbitrage trade – arbitraging crude oil between Europe and the United States and between now and the future – and of a storage trade where the trader can choose the optimal time to release the oil into the market. We show that while the arbitrage window has been open for most of the time during 2007-2009, the storage trade has only existed in the second half of this period. The floating storage opportunity is associated with a forward curve in contango when netted of freight costs. When it is open, there is additional value involved in not selling the cargo immediately and taking advantage of the possibility of higher prices. The framework that we present allows us to evaluate the profits from such a strategy, the decision rules for running the trade, and its exposure to the two risk factors through hedge ratios. The excess value is understood as a combination of the drifts in the factors, of the payoff convexity and of an early exercise premium. 98 2. Suggestions for future research As pertains to the market modeling, an essential improvement that is not performed in the present thesis would be to allow the model to be easily calibrated to market implied volatilities as well as the historical correlation surface. The crude oil market, for example, has a very liquid options market that can be used for such calibration. The market modeling framework presented in this thesis can be applied to a number of problems related to commodity trading. It would be very interesting to see empirical results for the general commodity trading problem presented in Section 4.8, and understand what value is associated with the possibility of switching destinations. It can also be applied to Liquefied Natural Gas cargoes that are currently being rerouted from their long-term contract destinations in the United States to Europe or Asia. Furthermore, this market-based routing problem should be integrated with the optimal weather routing problem developed in Avougleas and Sclavounos (2009). An underlying assumption in our formulation is that routes are deterministic and fuel consumption only depends on speed. In practice, ship routing and fuel consumption depends strongly on weather, and using forecasts and dynamic programming one can determine the optimal route to follow. Integrating this uncertainty with our model would give a much more precise evaluation of the commodity trade, especially when profits come from geographical spreads and not floating storage. However, this general problem involves a large number of state variables and is difficult to solve using dynamic programming. Developing solution methods adapted to such a large-scale problem would greatly enhance its applicability. One promising method, applied for American options, is the Longstaff and Schwartz (2001) least squares Monte Carlo method. This would require finding suitable basis functions on which to project the solution. In this thesis we view the shipping problem from the point of view of a physical oil trader who has the possibility of chartering a ship for one trade, before returning it to the market. Another direction would be to see the problem from the point of view of a shipowner or long-term charterer who can operate the ship continuously on several trades. In that case, the decision taken on one trade, such as storing oil, will have consequences for the next one. In some cases it might be more profitable to sell the oil, return to the loading port and take advantage of a better geographical spread. The same framework can be used, but the problem is of longer-term nature, of years rather than weeks. 99 6. APPENDIX 1. Traded volumes in commodity derivative markets From ICE (2009) and CME (2009): Contract Daily volume (‘000 bbl) ICE Brent Crude Futures Yearly volume (‘000 bbl) 287,355 Brent Crude Options 74,137,750 823 WTI Crude Options 212,341 179,820 WTI Crude Futures 46,393,671 70 18,200 545,351 141,791,260 Crude oil 4,521 1,175,460 Miny WTI 13,369 1,737,970 Brent Financial Futures 1,997 519,220 Dubai Crude oil Calendar 3,665 952,900 WTI Calendar 4,198 1,091,480 546 141,960 NYMEX (Options) NYMEX (Futures) Crude oil physical Brent Calendar Options Brent last day 74 19,240 Crude oil 1mo 2,857 742,820 Crude oil APO 12,713 29,458,520 1,170,661 Total 3,305,380 113,302 Crude oil physical 301,698,172 From Imarex (2009). One lot is 1000 metric tons. Period # trades # lots Dec ‘09 698 14 504 Nov ‘09 1 017 20 817 Oct ‘09 1 083 17 750 Sep ‘09 1 066 13 733 Aug ‘09 711 12 795 Jul ‘09 1 048 14 113 Jun ‘09 1 328 24 766 May ‘09 1 128 16 458 Apr ‘09 1 249 18 703 Mar ‘09 1 362 19 965 Feb ‘09 1 133 15 625 Jan ‘09 1 343 18 020 13 166 207 249 Total 100 2. Spot price process implied by the two-factor model Using the forward curve process and the spot-forward relationship S (t ) = F (t , t ) , we get: dF (t , T ) = σ S e −α (T −t ) dWS + σ L dWL = σ S (t , T )dWS + σ L (t , T )dWL F (t , T ) t log S (t ) = log F (0, t ) − t t t 1 1 2 2 ∫ σ S ( s, t )ds + ∫ σ S (s, t )dWS ( s) − 2 ∫ σ L ( s, t )ds + ∫ σ L ( s, t )dWL (s) 20 0 0 0 Such that: t t ∂ log F (0, t ) 1 2 ∂σ S ( s, t ) ∂σ ( s, t ) d log S (t ) = ds + ∫ S dWS ( s ) − σ S (t , t ) − ∫ σ S ( s, t ) ∂t 2 ∂t ∂t 0 0 t t 12 ∂σ ( s, t ) ∂σ ( s, t ) − σ L (t , t ) − ∫ σ L ( s, t ) L ds + ∫ L dWL ( s ) dt 2 t ∂t 0 0 +σ S (t , t )dWS (t ) + σ L (t , t )dWL (t ) We have: ∂σ S ( s, t ) = −ασ S ( s, t ), ∂t ∂σ L ( s, t ) =0 ∂t Such that ∂σ ( s, t ) ∫ S∂t dWS (s) = −α ∫ σ S (s, t )dWS ( s) 0 0 t t t t t 1 1 2 2 = −α log S (t ) − log F (0, t ) + ∫ σ S ( s, t )ds + ∫ σ L ( s, t )ds − ∫ σ L ( s, t )dW2 ( s ) 20 20 0 Let: µ (t ) = t 1 ∂ log F (0, t ) 1 2 12α 2 2 − σ S (t , t ) − σ L + ∫ (σ S ( s, t ) − σ L )ds + α log F (0, t ) + ασ L (WL (t ) − WL (0)) α ∂t 2 2 20 101 2 1 ∂ log F (0, t ) 1 2 α σS 2 2 µ (t ) = (1 − e −2α t ) − σ L t + α log F (0, t ) + ασ LWL (t ) − (σ S + σ L ) + ∂t 2 2 2α α 2 2 σ 1 ∂ log F (0, t ) σ = + log F (0, t ) − S (1 + e −2α t ) − L (1 + α t ) + σ LWL (t ) 4α 2α ∂t α Then: d log S (t ) = α ( µ (t ) − log S (t ))dt + σ S dWS + σ L dWL d µ (t ) = m(t )dt + σ L dWL where: 1 ∂ 2 log F (0, t ) ∂ log F (0, t ) 1 2 −2α t 2 m(t ) = + + σSe −σL 2 α ∂t ∂t 2 ( ) 3. Principal Components Analysis of the two-factor model We want to find the functions uk that are eigenvectors of the covariance matrix Σ(τ 1,τ 2 ) with associated eigenvalues λk . For this we must choose some arbitrary maximal tenor T, and find eigenvalues λk and eigenvectors uk (τ ) satisfying: τ max ∫ Σ(τ 1,τ 2 )uk (τ 2 )dτ 2 = λk uk (τ 1 ) 0 τ max ∫u 2 k (τ )dτ = 1 0 τ max ∫ u (τ )u (τ )dτ = δ k l kl 0 Given the parametric form of Σ(τ 1,τ 2 ) we find that τ max ∫ 2 (σ S e−ατ1 + ρσ L )(σ S e−ατ 2 + ρσ L ) + (1 − ρ 2 )σ L uk (τ 2 )dτ 2 = λk uk (τ 1 ) 0 Leaving out the k index and developing this equation we find that τ max λu (τ 1 ) = ∫ 0 τ max 2 2 (σ S e −ατ 2 + ρσ Sσ L )u (τ 2 )dτ 2 e−ατ1 + ∫ ( ρσ Sσ L e−ατ 2 + σ L )u (τ 2 )dτ 2 0 102 Thus we see that u (τ ) can be written in the form u (τ ) = Ae −ατ + B where A and B are constants. We replace this expression into the equation to find that: τ max 2 −ατ −ατ τ max −ατ 2 2 2 λσ (τ ) = ∫ (σ S e + ρσ Sσ L )( Ae + B )dτ e + ∫ ( ρσ Sσ L e −ατ 2 + σ L )( Ae−ατ 2 + B )dτ 0 0 Equating the constant and exponential terms we get the matrix eigenvector equation: τ max 2 −ατ −ατ ∫ (σ S e 2 + ρσ Sσ L )e 2 dτ 2 A λ = τ 0 B max 2 ( ρσ Sσ L e−ατ 2 + σ L )e−ατ 2 dτ 2 ∫ 0 τ max 2 (σ S e−ατ 2 + ρσ Sσ L )dτ 2 0 A τ max B −ατ 2 2 ∫ ( ρσ Sσ L e + σ L )dτ 2 0 ∫ This shows that λ is an eigenvalue and ( A, B) an eigenvector of the two-dimensional matrix M. Thus there are only two distinct eigenfunctions u (τ ) and eigenvalues λ - as expected for a twofactor model. 4. Evolution of the constant-maturity forward curve under the two-factor model If we let σ k (t , T ) = σ k uk (T − t ) = σ k ( Ak e −α k (T −t ) + Bk ) , we have: t 2 t 1 log f (t, τ ) = log F (t , t + τ ) = log F (0, t + τ ) + ∑ − ∫ σ k2 ( s, t + τ )ds + ∫ σ k ( s, t + τ )dWk ( s ) 20 k =1 0 Let: sk (t, τ ) = − t t 1 σ k2 ( s, t + τ )ds + ∫ σ k ( s, t + τ )dWk ( s) 2∫ 0 0 Expand the stochastic component (dropping the index k for now): t t 0 t 0 −ατ −α ( t − s ) ∫ σ (s, t + τ )dW (s) = Ae ∫ σ e dW (s) + Bσ ∫ dW ( s) 0 t t 0 0 = ( Ae−ατ + B)σ ∫ e −α (t − s ) dW ( s ) + Bσ ∫ (1 − e−α (t − s ) )dW ( s ) Let: 103 t f (t ) = σ ∫ e −α (t − s ) dW ( s ) 0 t g (t ) = Bσ ∫ (1 − e−α ( t − s ) )dW ( s ) 0 ψ (t, τ ) = − t 1 σ 2 ( s, t + τ )ds 2∫ 0 Then s (t, τ ) = ψ (t, τ ) + g (t ) + u (τ ) f (t ) Differentiate this df (t ) = −α f (t )dt + σ dW (t ) dg (t ) = B(σ dW + α f (t )dt − dW ) = Bα f (t )dt t 1 ∂σ dψ (t, τ ) = − σ 2 (t , t + τ ) − ∫ σ ( s, t + τ ) ( s, t + τ )ds dt = µ (t, τ )dt ∂T 0 2 We recognize that f (t ) is an Ornstein-Uhlenbeck process mean-reverting to 0, g (t ) is an integral of f and ψ (t, τ ) is a deterministic drift. We can calculate µ k (t, τ ) explicitly 1 2 t µk (t, τ ) = − σ k2 (t , t + τ ) − ∫ σ ( s, t + τ ) 0 ∂σ ( s, t + τ )ds ∂T t 1 = − σ k2 ( Ak e−α kτ + Bk ) 2 + σ k2α k ∫ ( Ak e−α k ( t +τ − s ) + Bk )Ak e −α k ( t +τ − s ) ds 2 0 1 1 = − σ k2 ( Ak e−α kτ + Bk ) 2 + σ k2 Ak2e −2α kτ (1 − e−2α k t ) + σ k2 Ak Bk e −α kτ (1 − e−α k t ) 2 2 1 1 = − σ k2 Ak2 e−2α k ( t +τ ) − σ k2 Ak Bk e−α k ( t +τ ) − σ k2 Bk2 2 2 1 1 µk (t, τ ) = − σ k2 ( Ak e−α k ( t +τ ) + Bk ) 2 = − σ k2uk (t + τ ) 2 2 2 Thus the constant-maturity futures price can be written as: log f (t, τ ) = log F (0, t + τ ) + ψ 1 (t, τ ) + ψ 2 (t, τ ) + g1 (t ) + g 2 (t ) + u1 (τ ) f1 (t ) + u2 (τ ) f 2 (t ) where: 104 df k (t ) = −α k f k (t )dt + σ k dWk (t ) dg k (t ) = Bkα k f k (t )dt 1 dψ k (t, τ ) = − σ k2uk2 (t + τ )dt 2 5. Impact of a third factor on the constant-maturity forward curve We have, as in Appen dix 4, that t 3 t 1 log f (t, τ ) = log F (t , t + τ ) = log F (0, t + τ ) + ∑ − ∫ σ k2 ( s, t + τ )ds + ∫ σ k ( s, t + τ )dWk ( s ) 20 k =1 0 Let: t t 1 sk (t, τ ) = − ∫ σ k2 ( s, t + τ )ds + ∫ σ k ( s, t + τ )dWk ( s ) 20 0 We consider only the third factor and will assume k = 3 in what follows. Let us consider first the stochastic part: t t 0 0 ∫ σ (s, t + τ )dW (s) = σ ∫ ( Ae t −2α ( t +τ − s ) = u (τ ) ∫ σ e −2α ( t − s ) + Be−α ( t +τ − s ) + C )dW ( s ) dW ( s ) + Be −ατ 0 t ∫σ e −α ( t − s ) (1 − e −α (t − s ) )dW ( s ) 0 t + C ∫ σ (1 − e−2α (t − s ) )dW ( s ) 0 Let: t t t 0 0 0 f (t ) = ∫ σ e−2α (t − s ) dW ( s ), g (t ) = ∫ σ e −α (t − s ) (1 − e −α (t − s ) )dW ( s ), h(t ) = ∫ σ (1 − e −2α (t − s ) )dW ( s ) Then df (t ) = −2α f (t ) + σ dW (t ) (Ornstein-Uhlenbeck process) dg (t ) = α ( f (t ) − g (t ))dt g (t ) = α ∫ e−α ( t − s ) f ( s )ds t 0 dh(t ) = 2α f (t )dt t h(t ) = 2α ∫ f ( s )ds 0 105 The process f (t ) is an Ornstein-Uhlenbeck process mean-reverting to zero with mean-reversion speed 2α and volatility σ . The processes g (t ) and h(t ) are stochastic drifts – integrals of f (t ) with different weights. 6. Black volatilities of the Average price contract In-settlement We consider a date TM ≤ t < TM +1 . 2 2 1 − e −α (T − s ) T −s 2 T −s 2 σ ( s, T )ds = ∫ σ S + ρ ' σ L + (1 − ρ ) ' σ L ds ' ∫ α cM cM cM t t T T 2 A = T −t ∫ 0 2 σS 2 ρσ Sσ L s2 2 −α s 2 −α s (1 − e ) s + ' 2 σ L ds 2 ' 2 (1 − e ) + ' cM α cM 2 α cM Let us calculate each of the terms separately: T −t ∫α 0 T −t ∫ 0 2 σS 2'2 M c (1 − e −α s ) 2 ds = 2 σS 2 1 − e −2α (T −t ) −α ( T − t ) + T − t − 1− e ' α 2 cM 2 α 2α 2 ρσ Sσ L 2 ρσ Sσ L (1 − e−α s ) sds = '2 ' α cM α cM 2 = ( ) s 2 T − t e −α s T −t e −α s T −t − s + 2 2 0 −α 0 α 0 2 ρσ Sσ L (T − t ) 2 (T − t )e −α (T −t ) 1 + − 2 1 − e −α (T −t ) '2 α cM 2 α α ( T −t ∫ 0 s2 2 1 (T − t )3 2 σ L ds = σL ' ' cM 2 3 cM 2 Such that the square of the Black volatility is given by: 106 ) σ Black (t , T ) 2 = = T 1 2 ∫ σ A (s, T )ds T −t t 2 σS 2 1 − e−α (T −t ) 1 1 − e −2α (T −t ) + 1 − +⋯ ' α 2 cM 2 α T − t 2α T −t 2 ρσ Sσ L T − t e −α (T −t ) 1 1 − e−α (T −t ) + −2 +⋯ ' α cM 2 2 α α T −t 1 (T − t ) 2 2 σL ' 3 cM 2 Let us consider the case when α c ≪ 1 and simplify this expression σ Black (t , T ) 2 ≈ σ Black (t , T ) ≈ 2 2 ρσ Sσ L 1 σS 1 σ2 (T − t ) 2 + (T − t )2 + ' L2 (T − t ) 2 ' ' 3 cM 2 3cM 2 3 cM 1 T −t 2 2 σ S + 2 ρσ Sσ L + σ L ' 3 cM ' and cM = TN − TM ≈ T − t such that σ Black (t , T ) ≈ 1 2 2 σ S + 2 ρσ Sσ L + σ L 3 Pre-settlement T1 T ∫σ 2 A 2 2 ( s, T )ds = ∫ σ A ( s, T )ds + (T − T1 )σ Black (T1 , T ) t t The second term is known from the calculations above. Let us calculate the first term. 2 αc −1 −α ( T − s ) e 2 σ ( s, T )ds = ∫ σ S e + ρσ L + (1 − ρ 2 )σ L ds ∫ αc t t T1 T1 2 A 2 T1 2 −2α (T − s ) S = ∫σ e t 1 eα c − 1 eα c − 1 −α (T − s ) 2 e ds + (T1 − t )σ L ds + ∫ 2 ρσ Sσ L αc αc t T 2 eα c − 1 e−2α (T −T1 ) − e−2α (T −t ) eα c − 1 e−α (T −T1 ) − e−α (T −t ) 2 =σ + 2 ρσ Sσ L + (T1 − t )σ L αc α 2α αc 2 S If we assume that α c ≪ 1 , and noticing that T − T1 = c 107 e−2α c − e−2α (T −t ) e −α c − e −α ( T − t ) c2 + 2 ρσ Sσ L + 1 − σ L 2α (T − t ) α (T − t ) T −t c1 2 2 + (σ S + 2 ρσ Sσ L + σ L ) T −t 3 c 1 − e−2α (T1 −t ) 1 c 1 − e −α (T1 −t ) 1 2c 2 2 σ Black (t , T ) 2 ≈ σ S + + 2 ρσ Sσ L + + σ L 1 − αc T − t 2α c 3 T −t 3 3 T −t 2 σ Black (t , T ) 2 ≈ σ S We check that when t = T1 (i. e the contract enters settlement): 1 3 2 σ Black (T1 , T ) 2 ≈ σ S + 2 ρσ Sσ L 1 2 + σL 3 3 and when T − t → ∞ , σ Black (t , T ) → σ 2 7. Semi-analytical solution to the optimal stopping problem We begin by presenting the analysis in the simple case of one factor. The continuation region is then given by S * (t ) = (−∞, f * (t )) . The equation satisfied by the value function V is ∂V ∂V 1 2 ∂ 2V + (µ − α f ) +σ − g (t ), ∂t ∂f 2 ∂f 2 f < f * (t ) V (t , f ) = Ω(t , f ), f ≥ f * (t ) V (T , f ) = Ω(T , f ) Let LV = (µ − α f ) ∂V 1 2 ∂ 2V +σ − g (t ) ∂f 2 ∂f 2 such that ∂V + LV = ψ (t , f ), ∂t 0 ψ (t , f ) = ∂Ω + LΩ ∂t The transition density for the Ornstein-Uhlenbeck process is 108 f < f * (t ) f ≥ f * (t ) p ( f ',τ , f , t ) = 1 1/2 1 − e−2α (τ −t ) 2πσ 2 2α 2 −α (τ −t ) µ −α (τ − t ) f '− fe + (1 − e ) α 1 exp − 2 1 − e−2α (τ −t ) σ2 2α This transition density satisfies the equation ∂p ∂p 1 ∂2 p + (µ − α f ) + σ 2 2 = 0 ∂t ∂f 2 ∂f The value function can then be written as ∞ V (t , f ) = T∞ ∫ −∞ p ( f ', T ; f , t )(Ω(T , f ') − G (t , T ))df ' + ∫ ∫ p( f ', s; f , t )(−ψ (s, f '))df ' ds t −∞ = Veur (t , f ) + Vearly (t , f ) where G (t , T ) is the cost of shipping between times t and T : T G (t , T ) = ∫ g ( s )ds t Let us verify this result by differentiating the above formula. Consider first the European value Veur (t , f ) : ∞ ∞ ∂Veur ∂p ∂G =∫ ( f ', T ; f , t )(Ω(T , f ') − G (t , T ))df ' − ∫ p ( f ', T ; f , t ) df ' ∂t ∂t ∂t −∞ −∞ = −( µ − α f ) ∂Veur 1 2 ∂ 2Veur −σ + g (t ) 2 ∂f ∂f 2 and the early-exercise premium: ∂Vearly ∂t = +∞ ∫ −∞ T +∞ p( f ', t ; f , t )ψ (t , f ')df ' + ∫ t T +∞ ∂p ( f ', s; f , t ) (−ψ ( s, f '))df ' ds ∂t −∞ ∫ ∂p 1 ∂2 p −( µ − α f ) − σ 2 2 (−ψ ( s, f '))df ' ds ∫ ∂f 2 ∂f t −∞ 2 ∂Vearly 1 2 ∂ Vearly = −( µ − α f ) −σ +ψ (t , f ) 2 ∂f ∂f 2 = ψ (t , f ) + ∫ Furthermore, Veur and Vearly satisfy the terminal conditions 109 Veur (T , f ) = ∞ ∫ p( f ', T ; f , T )(Ω(T , f ') − G (T , T ))df ' = Ω(T , f ) −∞ T∞ Vearly (T , f ) = ∫ ∫ p( f ', s; f , T )(−ψ ( s, f '))df ' ds = 0 T −∞ such that V = Veur + Vearly solves the equation. The early exercise premium can be written in terms of the stopping boundary as: T Vearly (t , f ) = ∫ ∞ ∫ p( f ', s; f , t )(−ψ ( s, f '))df ' ds t f * (s) This formulation gives a closed form expression of V. However, it involves the values of f * ( s ) for t ≤ s ≤ T . These are determined by the continuity condition Ω(t , f * (t )) = V (t , f * (t )) = ∞ ∫ −∞ ∞ T p( f ', T ; f * (t ), t )(Ω(T , f ') − G (t , T )) df ' + ∫ p( f ', s, f * (t ), t )(−ψ ( s, f '))df ' ds ∫ * t f (s) The value function at maturity t and the stopping boundary f * (t ) can be determined recursively as follows: discretize the dates as t0 = 0, t1 . t N = T . If f * (t N ). f * (tk +1 ) have been calculated, let F ( f k* ) = ∞ ∫ p ( f ', T , f k* , t )(Ω(T , f ') − G (t , T ))df ' + −∞ N −1 ∑ ∆t j = k +1 ∞ ∫ p ( f ', t j , f k* , tk )(−ψ (t j , f '))df ' f * (t j ) ∞ + ∆t ∫ p ( f ', tk ; f k* , tk )(−ψ (tk , f '))df ' f k* Finding the stopping boundary f * (tk ) at time tk involves finding, numerically, f * (tk ) = min f k* , F ( f k* ) = Ω(tk , f k* ) Once this stopping boundary has been located the value function can be calculated for all f using V (t , f ) = ∞ ∫ N −1 ∞ j =k f * (t j ) p ( f ', T , f, τ )(Ω(T , f ') − G (t , T ))df ' + ∑ ∆t −∞ ∫ p ( f ', t j , f , tk )(−ψ (t j , f '))df ' We can extend this analysis to two factors, by using the fact that they are independent. The transition density function for the joint Ornstein-Uhlenbeck process is 110 p ( f ',τ ; f , t ) = p1 ( f1',τ ; f1 , t ) p2 ( f 2',τ ; f 2 , t ) where p1 and p2 are the transition densities for the one-dimensional Ornstein-Uhlenbeck processes. This two-dimensional transition density function solves the partial differential equation ∂p ∂p 1 2 ∂ 2 p ∂p 1 2 ∂ 2 p + ( µ1 − α1 f1 ) + σ1 + ( µ2 − α 2 f 2 ) + σ2 2 = 0 ∂t ∂f1 2 ∂f12 ∂f 2 2 ∂f 2 The equation for the value function is ∂V + LV = ψ (t , f ) ∂t 0 ψ (t , f ) = ∂Ω + LΩ ∂t f ∈ S * (t ) f ∉ S * (t ) where L V = ( µ1 − α1 f1 ) ∂V ∂V 1 2 ∂ 2V 1 2 ∂ 2V + ( µ2 − α 2 f 2 ) + σ1 + σ 2 2 − g (t ) ∂f1 ∂f 2 2 ∂f12 2 ∂f 2 such that the value function can be written as T V (t , f ) = ∫ p( f ', T ; f , t )(Ω(T , f ') − G (t , T ))df ' + ∫ ∫ ℝ2 p ( f ', s; f , t )(−ψ ( s, f '))df ' ds t ℝ2 \ S * ( s ) = Veur (t , f ) + Vearly (t , f ) In the two-dimensional case the continuation region S * (t ) is defined as S * (t ) = The boundary ∂S * (t ) of this domain has to be determined for each date t . We write it as a function of the second factor ∂S * (t ) = ( f1* (t , f 2 ), f 2 ), f 2 ∈ ℝ such that the equation to be solved by f1* (t , f 2 ) is 111 V (t , f1* (t , f 2 ), f 2 ) = ∫ p( f f , T ; f1* (t , f 2 ), f 2 , t )(Ω(T , f ') − G (t , T ))df ' '' 12 ℝ2 T +∞ +∫ +∞ p1 ( f1' , f 2' , s; f1* (t , f 2 ), f 2 , t )(−ψ ( s, f '))df ' ds ∫∫ t −∞ f1* ( s , f 2 ) = Ω(t , f1* (t , f 2 ), f 2 ) To find the function f1* (t , f 2 ) we proceed recursively as in the one-factor case. Having determined f1* (t j , f 2 ) for j > k , we calculate F ( f1* , f 2 ) = ∫ p( f , f , T ; f ' 1 ' 2 * 1 , f 2 , tk )(Ω(T , f ') − G (tk , T ))df1'df 2' ℝ2 + N −1 ∑ j = k +1 +∞ ∆t ∫ ∞ p ( f1' , f 2' , t j ; f1* , f 2 , tk )(−ψ (t j , f '))df1'df 2' ∫ −∞ f1* ( t j , f 2' ) + ∆τ (−ψ (t k , f1* , f 2 )) and we find the exercise boundary by varying f1* : f1* (tk , f 2 ) = min f1* , F ( f1* , f 2 ) = Ω(tk , f1* , f 2 ) Once this exercise boundary has been located the value function can be calculated for all f using V (tk , f1 , f 2 ) = ∫ N −1 +∞ j =k −∞ f1* ( t j , f 2 ) p ( f ', T ; f , tk )(Ω(T , f ') − G (tk , T ))df ' + ∑ ∆τ ℝ2 112 ∞ ∫∫ p ( f ', t j ; f , tk )( −ψ (t j , f ')) df ' 8. Routes, cargoes and ships used in the floating storage trades Crude oil Sullom Voe – LOOP Route Sullom Voe – LOOP Ship1 Distance d 4535 Nm Type Very Large Crude Carrier (VLCC) Cargo Brent Cargo size 270 000 mt Barrel factor 7.578 bbl/mt DWT 300 000 mt Loading port Sullom Voe Speed u 15 knots Loading price S0 Dated Brent 10-21 days Fuel consumption sailing: FC(u) anchor: FCa 87.5 mt/day (laden) 74 mt/day (ballast) 85 mt/day (pumping) 15 mt/day (anchor) Loading delay τload 15 days Timecharter price H IFO price B Fuel Oil 3.5% CIF NWE (Platts) Delivery port VLCC average timecharter equivalent (Baltic Exchange) LOOP Delivery price F(t, τ) LLS forward curve Heating oil ARA – NYH Route ARA – NYH Ship Distance d 3383 Nm Type Very Large Crude Carrier (VLCC) Cargo No. 2 fuel oil Cargo size 270 000 mt Barrel factor 312.63 gal/mt DWT 300 000 mt Loading port Amsterdam-Rotterdam-Antwerp Speed u 15 knots Loading price S0 ICE Gasoil front month price Fuel consumption sailing: FC(u) anchor: FCa 87.5 mt/day (laden) 74 mt/day (ballast) 85 mt/day (pumping) 15 mt/day (anchor) Loading delay τload 15 days Timecharter price H IFO price B Fuel Oil 3.5% CIF NWE (Platts) Delivery port VLCC average timecharter equivalent (Baltic Exchange) New York Harbor Delivery price F(t, τ ) Nymex heating oil forward curve 1 Corresponds to the modern double-hull VLCC from Clarksons (2009) 113 7. REFERENCES Albanese, C. & Campolieti, G. (2006). Advanced Derivatives Pricing and Risk Management. Elsevier Academic Press. Avougleas, K. & Sclavounos, P. D. (2009). Fuel efficient ship routing. Massachusetts Institute of Technology, Working paper. Baker, M. P., Mayfield, E. S., & Parsons, J. E. (1998). Alternative models of uncertain commodity prices for use with modern asset pricing methods. The Energy Journal, 19, 1, 115-148 Basilevsky, A. (1994). Statistical Factor Analysis and Related Methods. جون وايلي & أمب؛ أولاده. Black, F. (1976). The pricing of commodity contracts. Journal of Financial Economics, 3, 167-179. Brennan, M. J. & Schwartz, E. S. (1985). Evaluating Natural Resource Investments. The Journal of Business, Vol. 58. No. 2 (Apr. 1985), pp. 135-157 Carr, P., Ewald, C.-O., & Xiao, Y. (2008). On the qualitative effect of volatility and duration on prices of Asian options. Finance Research Letters, 5, pp. 162-171. Central Intelligence Agency (2010). Country Comparison: oil production. CIA World Factbook, cia. gov/library/publications/the-world-factbook/. Accessed May 7, 2010. Chang, F.-R. (2004). Stochastic Optimization in Continuous Time. صحافة جامعة كامبرج. Clarksons (2009). Sources & Methods for the Shipping Intelligence Weekly, May 2009. Clewlow, L. & Strickland, C. (1998).Implementing Derivative Models. جون وايلي & أمب؛ أولاده. Clewlow, L. & Strickland, C. (2000). Energy Derivatives. Pricing and Risk Management. Lacima Publications. CME Group (2009). NYMEX/COMEX Exchange ADV Report – Monthly, December 2009. Dewynne, J. N. وأمبير. Wilmott, P. (1995). A Note on Average Rate Options with Discrete Sampling. SIAM Journal on Applied Mathematics, Vol. 55, No. 1 (Feb. 1995), pp. 267-276 Dixit, A. K., & Pindyck, R. S. (1994). Investment Under Uncertainty. Princeton University Press. Geman, H., & Yor, M. (1992) Quelques relations entre processus de bessel, options asiatiques, et fonctions confluences hypergeometriques. Comptes Rendus De l’Académie Des Sciences De Paris, I, 471-474. Gibson, R. & Schwartz, E. S. (1990). Stochastic Convenience Yield and the Pricing of Oil Contingent Claims. The Journal of Finance, Vol. 53, No. 3 (Jul. 1990), pp. 959-976. Haug, E. G. (2006). The Complete Guide to Option Pricing Formulas. McGraw-Hill, 2nd edition. 114 Haykov, J. M. (1993). A better control variate for pricing standard Asian options. Journal of Financial Engineering, Vol. 2, No. 3, pp. 207-216. Heath, D., Jarrow, R. A. وأمبير. Morton, A. (1992) Bond Pricing and the Term Structure of Interest Rates: A New Methodology for Contingent Claims Valuation. Econometrica, Vol. 60, No. 1, pp. 77-105. InterContinental Exchange (2009). ICE Report Center, MTD/YTD Volume for 2009. theice/marketdata/reports/ReportCenter. shtml. Accessed May 7, 2010. International Maritime Exchange (2010). Tanker FFA Trading Statistics. exchange. imarex/information-services/volume-statistics/tanker-ffa/. Accessed May 7, 2010. Joy, C., Boyle, P. P. وأمبير. Tan, K. S. (1996). Quasi-Monte Carlo Methods in Numerical Finance. Management Science, Vol. 42, No. 6 (June 1996). pp. 926-938. Kemna, A. G.Z & Vorst, A. C.F. (1989). A pricing method for options based on average asset values. Journal of Banking and Finance, Vol. 14, pp. 113-129. Koekebakker, S., & Ollmar, F. (2005). Clarkson Securities Freight Option Model – Technical Document. clarksonsecurities/files/pdf/clarkson_technical_doc. pdf. Koekebakker, S., Ådland, R., & Sødal, S. (2007). Pricing freight rate options. Transportation Research Part E, 43, 535-548. Levy, E. (1992). Pricing european average rate options. Journal of International Money and Finance, 14, 474-491. Longstaff, F. A., Santa-Clara, P. & Schwartz, E. S. (2001) Throwing away a billion dollars: The Cost of Suboptimal Exercise Strategies in the Swaptions Market. مجلة الاقتصاد المالي، المجلد. 62, No. 1 (Oct. 2001), pp. 39-66. Longstaff, F. A. & Schwartz, E. S. (2001) Valuing American Options by Simulation: A Simple Least-Squares Approach. The Review of Financial Studies, Vol. 14, No. 1, pp. 113-147 Morimoto, H. (2010). Stochastic control and mathematical modeling. Applications in Economics. Cambridge University Press Miltersen, K. R. وأمبير. Schwartz, E. S. (1998). Pricing of Options on Commodity Futures with Stochastic Term Structures of Convenience Yields and Interest Rates. The Journal of Financial and Quantitative Analysis, Vol. 33, No. 1 (Mar., 1998), pp. 33- 59 Musiela, M. & Rutkowski, M. (2008). Martingale Methods in Financial Modeling. الوثاب. Paddock, J. L., Siegel, D. R. and Smith, J. L. (1988), Option Valuation of Claims on Real Assets: The Case of Offshore Petroleum Leases. The Quarterly Journal of Economics, Vol. 103, No. 3 (Aug. 1988), pp 479508. Pilipovic, D. (2007). Energy Risk. Valuing and Managing Energy Derivatives. McGraw Hill. 115 Rebonato, R. (2002). Modern pricing of interest rate derivatives: The LIBOR market model and beyond. Princeton University Press. Rogers, L. C.G & Shi, Z. (1995). The Value of an Asian Option. Journal of Applied Probability, Vol. 32, No. 4 (Dec. 1995), pp. 1077-1088. Samuelson, P. A. (1965). Proof that properly anticipated prices fluctuate randomly. Industrial Management Review, Vol. 6, No. 2 (Spring 1965), pp. 41-49 Schwartz, E., & Smith, J. E. (2000). Short-term variations and long-term dynamics in commodity prices. Management Science, 46, 7, 893-911. Sclavounos, P. D., & Ellefsen, P. E. (2009). Multi-factor model of correlated commodity forward curves for crude oil and shipping markets. Massachusetts Institute of Technology. Working Paper. Center for Energy and Environmental Policy Research (CEEPR) Stopford, M. (2009). Maritime Economics. Routledge, 3rd edition. Turnbull, S. M. وأمبير. Wakeman, L. M. (1991). A Quick Algorithm for Pricing European Average Options. The Journal of Financial and Quantitative Analysis, Vol. 26, No. 3 (Sep. 1991), pp. 377 -389. Yergin, D. (2008). The Prize: The Epic Quest for Oil, Money & power. Free Press, New edition. Ådland, R. (2003). The stochastic behavior of spot freight rates and the risk premium in bulk shipping. PhD Thesis, Massachusetts Institute of Technology. 116 .
TERM Fall '12 PROFESSOR Madu TAGS . زيت خام.
انقر لتعديل تفاصيل المستند.
شارك هذا الرابط لصديق:
Most Popular Documents for MSC GBF.
Questions European Business School London MSC GBF - Fall 2012 Important points to remember while estimating the cash flows of a project are: I) Onl.
Additional_Slides session 1 European Business School London MSC GBF - Fall 2012 Balance Sheet ASSETS LIABILITIES & EQUITY Fixed Assets (non current) Plant & Property.
Additional_Slides session 1.
Business Case lesson 3 European Business School London MSC GBF - Fall 2012 ESCP Europe Masters in Management Business law module, seminar 3 Case.
Business Case lesson 3.
LLP members sentence about workers European Business School London MSC GBF - Fall 2012 LLP members not whistling in the dark Dentons Michael Bronstein, Ryan Carthew , Gilla.
LLP members sentence about workers.
An Empirical Study On Commodity Linked Bonds - Pricing With Monte-Carlo Simulation And Tree Approxim European Business School London MSC GBF - Fall 2012 AN EMPIRICAL STUDY ON COMMODITY LINKED BONDS: PRICING WITH MONTE-CARLO SIMULATION AND.
An Empirical Study On Commodity Linked Bonds - Pricing With Monte-Carlo Simulation And Tree Approxim.
Lecture 7 European Business School London MSC GBF - Fall 2012 Corporate Finance Nov-16 Corporate Finance Dr. Kostas Andriosopoulos [ protected]
شوهدت مؤخرا.
Commodity Market Modeling And Physical Trading Strategies.
دراسة على الذهاب.
مواد أخرى ذات صلة.
Proof This follows by the one dimensional Itˆo Formula for jump processes European Business School London MSC GBF - Fall 2012 D EPT. OF M ATH ./CMA P URE M ATHEMATICS ISSN 08062439 U NIVERSITY OF O SLO N O 20 O.
A Multivariate Non-Gaussian Stochastic Volatility Model With Leverage For Energy Markets.
From the Appendix the partial derivatives of Π 0 are at most log linearly European Business School London MSC GBF - Fall 2012 Asymptotic Pricing of Commodity Derivatives using Stochastic Volatility Spot Models.
Asymptotic Pricing Of Commodity Derivatives Using Stochastic Volatility Spot Models.
Left The market future prices red dashed line and the forward prices as European Business School London MSC GBF - Fall 2012 A Hybrid Commodity and Interest Rate Market Model K. F. Pilz and E. Schlgl University.
A Hybrid Commodity And Interest Rate Market Model.
cases of knowing the parameters estimating them with maximum likelihood and European Business School London MSC GBF - Fall 2012 Ambiguity, Illiquidity, and Hedge Funds: An Analysis of Recent Developments and Curre.
Ambiguity, Illiquidity, And Hedge Funds - An Analysis Of Recent Developments And Current Research To.
A Closer Look At The Relation Between Garch And Stochaistic Autoregresive Volatility European Business School London MSC GBF - Fall 2012 A Closer Look at the Relation between GARCH and Stochastic Autoregressive Volatility.
A Closer Look At The Relation Between Garch And Stochaistic Autoregresive Volatility.
A New Approach To Markov-Switching Garch Models European Business School London MSC GBF - Fall 2012 A New Approach to Markov-Switching GARCH Models Markus Haasa Stefan Mittnika b c Mar.
A New Approach To Markov-Switching Garch Models.
الحصول على دورة البطل.
القانونية.
اتصل بنا.
حقوق الطبع والنشر © 2017. بالطبع البطل، وشركة الخصوصية الشروط.
بالطبع لا ترعى بطل أو أقرتها أي كلية أو جامعة.

تجارة السلع.
تطوير واختبار وتنفيذ استراتيجيات تداول السلع.
وتجارة السلع هي استراتيجية تجارية تركز على السلع المادية المستخدمة في إنتاج السلع والخدمات الاقتصادية الأخرى. وتظهر السلع التي تمثل السلع خصائص مشتركة مثل الافتقار إلى التمايز والفائدة.
وتشمل السلع الأساسية:
المنتجات الزراعية - الذرة وفول الصويا والقمح منتجات الطاقة - خام غرب تكساس الوسيط خام برنت النفط الخام والغاز الطبيعي المعادن الثمينة والذهب والفضة والبلاتين المعادن الصناعية - النحاس والألومنيوم والقصدير السلع الناعمة - القهوة والكاكاو والسكر.
وتشكل السلع جزءا كبيرا من تكاليف الإنتاج للمنظمات الصناعية. وعلى هذا النحو، تسعى الشركات للسيطرة على تكاليفها وإدارة المخاطر المالية من خلال توظيف استراتيجيات تجارة السلع الأساسية. يتم تداول السلع في السوق الفورية أو تعبئتها كمشتقات وتداولها في البورصة أو في البورصات. إن مستثمري الصناديق االستثمارية والسلع اآلجلة المدارة هم مستثمرون نشطون في فئة األصول هذه.
وينطوي نهج التنفيذ العملي على نمذجة وبناء واختبار استراتيجيات تجارة السلع باستخدام البيانات المجمعة من خلاصات البيانات وقواعد البيانات. يتيح لك سير العمل الفعال ما يلي:
إعداد ومعايرة السلع المخصصة مشتقات التسعير التطبيقات بناء واختبار، وتحسين استراتيجيات التداول المخصصة تطبيق تقنيات التعلم الآلي لتعزيز استراتيجيات إدارة نظام التداول الآلي السلع التجارية سير العمل.
أمثلة وكيفية.
تجارة الطاقة & أمب؛ إدارة المخاطر مع ماتلاب 47:31 - تحليل الويبينار، نموذج ومحاكاة مخاطر الطاقة مع ماتلاب - التكامل ساب في رو 68:49 - تحميل الويبينار الكهرباء وتوقعات الأسعار مع ماتلاب 47:43 - ويبينار ميونخ ري تجارة يخلق منصة تحليلات المخاطر مع ماتلاب: نظرة عامة على المشروع 4:11 - فيديو مونيتش ري ترادينغ يخلق منصة تحليلات المخاطر مع ماتلاب: مظاهرة 3:31 - استراتيجيات استعراض الأفلام الخلفية في 8 خطوط فقط من المدونة (4:13) - فيديو.
مرجع البرنامج.
سير العمل للوسطاء التفاعليين - أدوات التداول الوثائق سير العمل لتقنيات التداول X_TRADER - أدوات أدوات التداول التوثيق خدمة بلومبرغ V3 خدمة البيانات - داتافيد تولبوكس الوثائق الاتصال برويترز ملقم بيانات السوق - داتافيد تولبوكس الوثائق مشتقات الطاقة التسعير - الأدوات المالية مربع الأدوات الوثائق الخوارزمية كود التداول وغيرها الموارد - ماتلاب الوسطى.
اختر بلدك.
اختر بلدك للحصول على المحتوى المترجم حيثما كان ذلك متاحا وشاهد الأحداث المحلية والعروض. استنادا إلى موقعك، نوصي بتحديد:.
يمكنك أيضا تحديد موقع من القائمة التالية:
كندا (الإنجليزية) الولايات المتحدة (الإنجليزية)
بلجيكا (الإنجليزية) الدنمارك (الإنجليزية) ديوتسكلاند (ديوتسش) إسبانا (إسبانول) فنلندا (الإنجليزية) فرنسا (الفرنسية) أيرلندا (الإنجليزية) إيطاليا (إيتاليانو) لوكسمبورغ
هولندا (الإنجليزية) النرويج (الإنجليزية) Österreich (ديوتسش) البرتغال (الإنجليزية) السويد (الإنجليزية) سويسرا ديوتسش إنجليش فرانسيس المملكة المتحدة (الإنجليزية)
آسيا والمحيط الهادئ.
أستراليا (الإنجليزية) الهند (الإنجليزية) نيوزيلندا (الإنجليزية) 中国 (简体 中文) 日本 (日本語) 한국 (한국어)
استكشاف المنتجات.
محاولة أو شراء.
تعلم كيفية الاستخدام.
الحصول على الدعم.
حول ماثوركس.
تسريع وتيرة الهندسة والعلوم.
ماثوركس هي الرائدة في مجال تطوير البرمجيات الحاسوبية الرياضية للمهندسين والعلماء.

Commodity market modeling and physical trading strategies

كل ما عليك القيام به هو التسجيل.
العودة إلى فت أعلى الأقسام فتاف الرئيسية الأسواق ليف لونغ روم ألفشات تعرف على الفريق عن فتاف عن الأسواق ليف رسس سيرفيس تواصل معنا تصفية حسب. الأكثر شعبية الأكثر تعليقا تصفية حسب الموضوع تصفية حسب الكاتب إيزابيلا كامينسكا أليكساندرا سكاغز برايس إلدر كاظم شوبر ماثيو C كلاين بول ميرفي تسجيل الدخول اشترك تسجيل الخروج حسابي.
القانونية & أمب؛ الإجمالية.
أدوات.
المزيد من مجموعة فت.
وتخضع صحيفة فاينانشيال تايمز وصحافتها لنظام التنظيم الذاتي بموجب مدونة الممارسات التحريرية فت.